［Ｑ］外円内に甲乙乙の３円が，丙円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　　（丙）

　 （乙乙）

外円の直径は２Ｒ寸，甲円の直径は丙円の直径のｍ倍のとき，丙円の直径を求めよという類の問題を取り上げてきたが，これらの問題が解をもつｍの範囲はどうなっているのだろうか？

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【１】ｎ＝３のとき

　　ｓ＝（１－ｓｉｎπ／３）／（１＋ｓｉｎπ／３）＝７－４√３

　　１／ｓ＝７＋４√３，ｓ＋１／ｓ＝１４

　　ｄ^2＝ｒ^2－ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2－１４ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくから，ｒ≦（７－４√３）Ｒ．

　また，題意より

　　Ｒ－ｄ－ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ－（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2－２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2－（４ｍ－１２）ｒＲ＝０

　　ｍ（ｍ＋１）ｒ－（ｍ－３）Ｒ＝０

　　ｒ＝（ｍ－３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞３となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

［１］ｒ≦ｓＲ

　　ｒ＝（ｍ－３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦ｓＲ

ｍ（ｍ＋１）≧（ｍ－３）／ｓ＝（７＋４√３）（ｍ－３）

ｍ^2－（６＋４√３）ｍ＋３（７＋４√３）≧０

（ｍ－３－２√３））^2≧０　　　（ＯＫ）

［２］ｒ＝（ｍ－３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（ｍ－３）（２ｍ＋１）≦ｍ（ｍ＋１）

　　ｍ^2－６ｍ－３≦０

　　（ｍ－３）^2≦１２

より，３＜ｍ＜３＋√１２

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【２】ｎ＝４のとき

　　ｓ＝（１－ｓｉｎπ／４）／（１＋ｓｉｎπ／４）＝３－２√２

　　１／ｓ＝３＋２√３，ｓ＋１／ｓ＝６

　　ｄ^2＝ｒ^2－ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2－６ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくから，ｒ≦（３－２√２）Ｒ．

　また，題意より

　　Ｒ－ｄ－ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ－（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2－２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2－（４ｍ－４）ｒＲ＝０

　　ｍ（ｍ＋１）ｒ－（ｍ－１）Ｒ＝０

　　ｒ＝（ｍ－１）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞１となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

［１］ｒ≦ｓＲ

　　ｒ＝（ｍ－１）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦ｓＲ

ｍ（ｍ＋１）≧（ｍ－１）／ｓ＝（３＋２√２）（ｍ－１）

ｍ^2－（２＋２√２）ｍ＋（３＋２√２）≧０

（ｍ－１－√２））^2≧０　　　（ＯＫ）

［２］ｒ＝（ｍ－１）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（ｍ－１）（２ｍ＋１）≦ｍ（ｍ＋１）

　　ｍ^2－２ｍ－１≦０

　　（ｍ－１）^2≦２

より，１＜ｍ＜１＋√２

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【３】ｎ＝６のとき

　　ｓ＝（１－ｓｉｎπ／６）／（１＋ｓｉｎπ／６）＝１／３

　　１／ｓ＝３，ｓ＋１／ｓ＝１０／３

　　ｄ^2＝ｒ^2－ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2－１０ｒＲ／３＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくから，ｒ≦Ｒ／３．

　また，題意より

　　Ｒ－ｄ－ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ－（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2－２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2－（４ｍ－４／３）ｒＲ＝０

　　ｍ（ｍ＋１）ｒ－（ｍ－１／３）Ｒ＝０

　　ｒ＝（ｍ－１／３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞１／３となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

［１］ｒ≦ｓＲ

　　ｒ＝（ｍ－１／３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦ｓＲ

ｍ（ｍ＋１）≧（ｍ－１／３）／ｓ＝３（ｍ－１／３）

ｍ^2－２ｍ＋１≧０

（ｍ－１）^2≧０　　　（ＯＫ）

［２］ｒ＝（ｍ－１／３）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（ｍ－１／３）（２ｍ＋１）≦ｍ（ｍ＋１）

　　ｍ^2－２ｍ／３－１／３≦０

　　（ｍ－１／３）^2≦４／９

より，１／３＜ｍ＜１

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【４】ｎ＝５のとき

　　ｓ＝（１－ｓｉｎπ／５）／（１＋ｓｉｎπ／５）＝１１－４√５－（１０－２√５）^1/2／２

　　１／ｓ＝１１－４√５＋（１０－２√５）^1/2／２，ｓ＋１／ｓ＝２２－８√５

　　ｄ^2＝ｒ^2－ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2＝ｒ^2－（２２－８√５）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくから，ｒ≦（１１－４√５－（１０－２√５）^1/2／２）Ｒ．

　また，題意より

　　Ｒ－ｄ－ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ－（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2－２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2 ・

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2－（４ｍ－２０＋８√５）ｒＲ＝０

　　ｍ（ｍ＋１）ｒ－（ｍ－５＋２√５）Ｒ＝０

　　ｒ＝（ｍ－５＋２√５）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞５－２√５となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

［１］ｒ≦ｓＲ

　　ｒ＝（ｍ－５＋２√５）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦ｓＲ

ｍ（ｍ＋１）≧（ｍ－５＋２√５）／ｓ＝（ｍ－５＋２√５）（１１－４√５＋（１０－２√５）^1/2／２）

この条件はＯＫであろう．

［２］ｒ＝（ｍ－５＋２√５）Ｒ／ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（ｍ－５＋２√５）（２ｍ＋１）≦ｍ（ｍ＋１）

　　ｍ^2－２（５－２√５）ｍ－５＋２√５≦０

　　（ｍ－５＋２√５）^2≦（５－２√５）（６－２√５）

より，５－２√５＜ｍ＜５－２√５＋（５０－２２√５）^1/2

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