■初等幾何の楽しみ(その130)

[Q]外円内に甲乙乙の3円が,丙円を取り巻いて内外接している.

  (甲)

  (丙)

  (乙乙)

外円の直径は2R寸,甲円の直径は丙円の直径のm倍のとき,丙円の直径を求めよという類の問題を取り上げてきたが,これらの問題が解をもつmの範囲はどうなっているのだろうか?

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【1】n=3のとき

  s=(1-sinπ/3)/(1+sinπ/3)=7-4√3

  1/s=7+4√3,s+1/s=14

  d^2=r^2-rR(s+1/s)+R^2=r^2-14rR+R^2

  ここで,r≦sRという条件がつくから,r≦(7-4√3)R.

 また,題意より

  R-d-r=2mr

  d=R-(2m+1)r

  d^2=(2m+1)^2r^2-2(2m+1)rR+R^2

  ここで,r≦R/(2m+1)という条件がつく.

 これより

  4m(m+1)r^2-(4m-12)rR=0

  m(m+1)r-(m-3)R=0

  r=(m-3)R/m(m+1)

したがって,m>3となるが,他の必要条件も満たしているであろうか?

[1]r≦sR

  r=(m-3)R/m(m+1)≦sR

m(m+1)≧(m-3)/s=(7+4√3)(m-3)

m^2-(6+4√3)m+3(7+4√3)≧0

(m-3-2√3))^2≧0   (OK)

[2]r=(m-3)R/m(m+1)≦R/(2m+1)

については

  (m-3)(2m+1)≦m(m+1)

  m^2-6m-3≦0

  (m-3)^2≦12

より,3<m<3+√12

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【2】n=4のとき

  s=(1-sinπ/4)/(1+sinπ/4)=3-2√2

  1/s=3+2√3,s+1/s=6

  d^2=r^2-rR(s+1/s)+R^2=r^2-6rR+R^2

  ここで,r≦sRという条件がつくから,r≦(3-2√2)R.

 また,題意より

  R-d-r=2mr

  d=R-(2m+1)r

  d^2=(2m+1)^2r^2-2(2m+1)rR+R^2

  ここで,r≦R/(2m+1)という条件がつく.

 これより

  4m(m+1)r^2-(4m-4)rR=0

  m(m+1)r-(m-1)R=0

  r=(m-1)R/m(m+1)

したがって,m>1となるが,他の必要条件も満たしているであろうか?

[1]r≦sR

  r=(m-1)R/m(m+1)≦sR

m(m+1)≧(m-1)/s=(3+2√2)(m-1)

m^2-(2+2√2)m+(3+2√2)≧0

(m-1-√2))^2≧0   (OK)

[2]r=(m-1)R/m(m+1)≦R/(2m+1)

については

  (m-1)(2m+1)≦m(m+1)

  m^2-2m-1≦0

  (m-1)^2≦2

より,1<m<1+√2

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【3】n=6のとき

  s=(1-sinπ/6)/(1+sinπ/6)=1/3

  1/s=3,s+1/s=10/3

  d^2=r^2-rR(s+1/s)+R^2=r^2-10rR/3+R^2

  ここで,r≦sRという条件がつくから,r≦R/3.

 また,題意より

  R-d-r=2mr

  d=R-(2m+1)r

  d^2=(2m+1)^2r^2-2(2m+1)rR+R^2

  ここで,r≦R/(2m+1)という条件がつく.

 これより

  4m(m+1)r^2-(4m-4/3)rR=0

  m(m+1)r-(m-1/3)R=0

  r=(m-1/3)R/m(m+1)

したがって,m>1/3となるが,他の必要条件も満たしているであろうか?

[1]r≦sR

  r=(m-1/3)R/m(m+1)≦sR

m(m+1)≧(m-1/3)/s=3(m-1/3)

m^2-2m+1≧0

(m-1)^2≧0   (OK)

[2]r=(m-1/3)R/m(m+1)≦R/(2m+1)

については

  (m-1/3)(2m+1)≦m(m+1)

  m^2-2m/3-1/3≦0

  (m-1/3)^2≦4/9

より,1/3<m<1

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【4】n=5のとき

  s=(1-sinπ/5)/(1+sinπ/5)=11-4√5-(10-2√5)^1/2/2

  1/s=11-4√5+(10-2√5)^1/2/2,s+1/s=22-8√5

  d^2=r^2-rR(s+1/s)+R^2=r^2-(22-8√5)rR+R^2

  ここで,r≦sRという条件がつくから,r≦(11-4√5-(10-2√5)^1/2/2)R.

 また,題意より

  R-d-r=2mr

  d=R-(2m+1)r

  d^2=(2m+1)^2r^2-2(2m+1)rR+R^2 ・

  ここで,r≦R/(2m+1)という条件がつく.

 これより

  4m(m+1)r^2-(4m-20+8√5)rR=0

  m(m+1)r-(m-5+2√5)R=0

  r=(m-5+2√5)R/m(m+1)

したがって,m>5-2√5となるが,他の必要条件も満たしているであろうか?

[1]r≦sR

  r=(m-5+2√5)R/m(m+1)≦sR

m(m+1)≧(m-5+2√5)/s=(m-5+2√5)(11-4√5+(10-2√5)^1/2/2)

この条件はOKであろう.

[2]r=(m-5+2√5)R/m(m+1)≦R/(2m+1)

については

  (m-5+2√5)(2m+1)≦m(m+1)

  m^2-2(5-2√5)m-5+2√5≦0

  (m-5+2√5)^2≦(5-2√5)(6-2√5)

より,5-2√5<m<5-2√5+(50-22√5)^1/2

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