［Ｑ１］外円内に甲乙乙丙丁の５円が，丁円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　（乙丁乙）

　　（丙）

外円の直径は６寸，甲円の直径が２寸のとき，丙円の直径を求めよ．

［Ｑ２］外円内に甲乙乙丙丙丁の６円が戊円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　（乙戊乙）

　（丙丁丙）

外円の直径は１８寸，甲円の直径が３寸のとき，丁円の直径を求めよ．

　今回のコラムでは，これらの問題に対する偏心パラメータａを決定することを考える．

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【１】同心円への帰着と閉包条件

　最初の２円の直径端と中心がそれぞれ

　　［−１，０，１］，［α，（α＋β）／２），β］　　　（α＋β＞０）

にあると仮定しても一般性は失われない．

　このとき，

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

は半径１の円板をそれ自身に移し，［−１，０，１］はそれぞれ［−１，ａ，１］に移される．（円板の中心が円板の中心に移されるわけではない）．

　［α，β］が［−ｒ，ｒ］に移されるためには，

　　（α＋ａ）／（ａα＋１）＝−（β＋ａ）／（ａβ＋１）

より，ａに関する２次方程式

　　ａ^2＋２ａ（１＋αβ）／（α＋β）＋１＝０　　　（−１＜ａ＜０）

に帰着される．

　　ａ＝｛−（１＋αβ）±｛（１−α^2）（１−β^2）｝^1/2｝／（α＋β）

　　ｒ＝｜（α＋ａ）／（ａα＋１）｜＝｜（β＋ａ）／（ａβ＋１）｜

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【２】偏心パラメータの決定

　しかし，できあがった図に初期の偏心パラメータα，βの値は反映されていない．

　　ｒ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

が第一義的に決定され，

　　ａ＝｛−（１＋αβ）＋｛（１−α^2）（１−β^2）｝^1/2｝／（α＋β）

が第二義的に決定されると，最終的に

　　ｒ＝｜（α＋ａ）／（ａα＋１）｜＝｜（β＋ａ）／（ａβ＋１）｜

からα，βが決まるからである．

　したがって，シュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒ（ｓ＋１／ｓ）＋１

が所与の場合は

　　（α＋β）／２＝ｄ，（β−α）／２＝ｒ

　　α＝ｄ−ｒ，β＝ｄ＋ｒ

を

　　ａ^2＋２ａ（１＋αβ）／（α＋β）＋１＝０　　　（−１＜ａ＜０）

に代入して，

　　ａ^2＋２ａ（１＋ｄ^2−ｒ^2）／（２ｄ）＋１＝０　　　（−１＜ａ＜０）

　　ａ＝−（１＋ｄ^2−ｒ^2）／（２ｄ）＋｛（（１＋ｄ^2−ｒ^2）／（２ｄ））^2−１｝^1/2

が決定される．

［Ｑ１］

　　ｓ＋１／ｓ＝６

　　ｄ^2−ｒ^2＝−６ｒ＋１，ｄ＝１／６，ｒ＝１／６

　　ａ＝−．１７１５７３

［Ｑ２］

　　ｓ＋１／ｓ＝１０／３

　　ｄ^2−ｒ^2＝−１０ｒ／３＋１，ｄ＝７／１８，ｒ＝５／１８

　　ａ＝−．４２８５７１

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