円：∫1/(1-x^2)^(1/2)dxの場合は省略して，周長が
∫1/(1-x)^(1/2)dx
で表される曲線（カージオイド）のｎ等分問題について考えてみます．
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【１】初等関数の積分
∫1/(1-x)^(1/2)dx=-2(1-x^)^(1/2)+C
∫(0,1)1/(1-x)^(1/2)dx=2
より，ｎ等分点は
-2(1-x)^(1/2)+2=2/n
x=1-(1-1/n)^2=(2n-1)/n^2=c
で与えられる．
したがって，カージオイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できる曲線で，２等分点，３等分点，５等分点に対応するカージオイド曲線上の点は以下の如くである．
ｃ （ｘ，ｙ）
ｎ＝２ → 3/4 → (0.375,0.6495193)
ｎ＝３ → 5/9 → (0.0617284,0.552115)
ｎ＝５ → 9/25 → (-0.1008,0.3456)
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【２】∫1/(1-x^5)^(1/2)dxの場合
オイラーは円からの類推を用いて，
1/(1-t^3)^(1/2)
1/(1-t^4)^(1/2)
1/(1-t^6)^(1/2)
に対する一般積分を見いだしているのであるが，
1/(1-t^5)^(1/2)
に対しては結果が得られなかったようだ．
∫1/(1-x^3)^(1/2)dx
は，変数変換
ｘ＝１／ｚ，ｄｘ＝−ｚ^(-2)ｄｚ
により
∫(x,∞)1/(z^4-z)^(1/2)dz
となるが，
∫1/(1-x^5)^(1/2)dx
はｘ＝１／√ｚと変数変換してもｘ＝１／ｚと変数変換しても，楕円積分は得られない，
これまで調べた曲線では
［１］任意等分可能・・・・・・カージオイド
［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート
［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）
［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２），ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２） （ｎ≧６）
となっていたが，これらはどのように特徴づけられるのであろうか？
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【３】任意等分可能曲線
［Ｑ］定木とコンパスで弧長が任意等分できる曲線は，直線とカージオイドの他にあるか？
について，一般解は難しいようですが，ルーレット曲線の仲間で、他にもいくつもありそうです．一例としてサイクロイドもそのようです．
ｘ＝θ−ｓｉｎθ，ｙ＝１−ｃｏｓθ
ｘ’＝１−ｃｏｓθ，Ｙ’＝ｓｉｎθ
（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2＝２ｓｉｎ（ｔ／２）
Ｌ（α）＝∫(0,α)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ＝∫(0,α)ｓｉｎ（ｔ／２）ｄｔ＝４［１−ｃｏｓ（α／２）］・・・全長はα＝２πを代入して８．
有理数０＜ｎ／ｍ＜１をとると
Ｌ（α）＝８ｎ／ｍ
となるαは
８ｎ／ｍ＝４［１−ｃｏｓ（α／２）］
ｃｏｓ（α／２）＝１−２ｎ／ｍ
このαは一般に定木とコンパスで作図できませんが，
ｃｏｓα＝２ｃｏｓ^2（α／２）＝２（１−２ｎ／ｍ）^2−１
ｙ＝１−ｃｏｓα＝２ｎ／ｍ（１−ｎ／ｍ）
は有理数であって作図可能です．
すなわち，サイクロイド曲線そのものが正確に描かれていれば，ｍ等分するにはｎ＝１，２，・・・，［ｍ／２］について，この式で与えられるｙの値ａnを作図して直線ｙ＝ａnとの交点を求めればよいわけでです．これは定木とコンパスだけで任意のｍについて可能です．
特例としてｍ＝３ならサイクロイドの高さ２に対して１６／９すなわち高さの比が８／９の位置の点をとればよいことになります．ｍ＝４なら中央の点と高さ２に対して３／２つまり高さの比が３／４の位置の点をとる（ｍ＝４のときはα＝２π／３，π，４π／３に相当する位置）などです．
以上は一例であり，他にも内サイクロイドや外サイクロイド
ｘ＝ａｃｏｓθ−ｃｏｓ（ａ＋１）θ
ｙ＝ａｓｉｎθ−ｓｉｎ（ａ＋１）θ
ａは固定円の半径，回転円の半径１
など多数ありそうです．内サイクロイドや外サイクロイドは，固定円の同心円で任意等分できますから，カージオイドは２通りの方法で任意等分可能ということになる．
［１］任意等分可能・・・・・・直線，カージオイド，サイクロイド族
［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート
［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）
［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２），ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２） （ｎ≧６）
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