曲線（あるいは弧長）を等分する問題を考えます．たとえば，正多角形の作図は円周等分問題という幾何学問題ですが，１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつきました．のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．
正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積
ｎ＝２^kΠＦm
でなければなりません．したがって，
［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０ → 作図可能
［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５ → 作図不可能
となって，幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最大
３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５
角形まであります．
また，等分可能性を示すことと実際の等分点を与えることは別問題で，たとえば，円の１７等分点のｘ座標（の２倍）は
２ｃｏｓ（２π／１７）＝１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４
となります．
とはいえ，一般的な議論は難しいので，このシリーズでは弧長が
∫(0,x)1/(1-x^n)^(1/2)dt
で与えられる曲線（ｎ＝２の場合が円，ｎ＝４の場合がレムニスケート）の等分点を与えることを考えます．
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【１】レムニスケート積分の倍角公式
レムニスケート（連珠形）には円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることはよく知られている．
レムニスケートの弧長は
∫(0,x)1/(1-x^4)^(1/2)dt
と表わされる．これはレムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分である．また，
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dt=1.311028･･･=ω/2
とおくと，2ωがレムニスケートの全長になる．レムニスケートの定数（レムニスケート周率）ωは円に対する円周率πと同じ役割を演じていることになる．
［補］P(x)を２次の多項式とするとき，
f(x)=1/(P(x))^(1/2)
F(z)=integral(0-z)f(x)dx
は対数あるいは円関数（三角関数）になりますが，３次，４次の多項式の場合はそうはいかず，初等関数をいくら組み合わせても得られない関数が登場します．P(x)を３次，４次の多項式とするとき，F(z)は楕円積分，その逆関数F-1(z)は楕円関数と命名されています．３次でも４次でもx=1/tとおけば
dx/{x(x-a)(x-b)(x-c)}^(1/2)=-dt/{(1-at)(1-bt)(1-ct)}^(1/2)
となりますから，本質的には同じことです．また，P(x)を５次以上の多項式とするとき，当該の関数は超楕円積分，超楕円関数と呼ばれます．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ところで，円では
x=sinu，f'(u)=dx/du=1/du/dx=(1-x^2)^1/2=y(=cosu=sin'u)
よりｘ，ｙはともにパラメータｕの関数になるが，レムニスケート積分でもx=sl(u),y=sl'(u)はともにパラメータｕの関数になり，曲線ｙ^2＝１−ｘ^4はx=sl(u),y=sl'(u)によってパラメータ表示できる．
レムニスケートサインの加法定理
sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))
より，
sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))
sl(3u)=(sl(2u)sl'(u)+sl(u)sl'(2u))/(1+sl^2(2u)sl^2(u))
sl(4u)=(sl(3u)sl'(u)+sl(u)sl'(3u))/(1+sl^2(3u)sl^2(u))
sl(5u)=(sl(4u)sl'(u)+sl(u)sl'(4u))/(1+sl^2(4u)sl^2(u))
sl(6u)=(sl(5u)sl'(u)+sl(u)sl'(5u))/(1+sl^2(5u)sl^2(u))
さらに，
sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2
sl'(2u)=(1-sl^4(2u))^1/2
sl'(3u)=(1-sl^4(3u))^1/2
sl'(4u)=(1-sl^4(4u))^1/2
sl'(5u)=(1-sl^4(5u))^1/2
を用いて，sl(u)の関数として表すと
sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))
などが得られる．
ここで，２等分を与えるにはsl(2u)をsl(u)の関数として表せればよいことになるのだが，レムニスケートサインの倍角公式は
sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))
sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))
sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2
sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))=2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)
のようになり，レムニスケートサインとその導関数が正弦関数とその導関数である余弦関数にいかに類似しているかわかるだろう．
2u=sl^(-1)(2x(1-x^2)^1/2/(1+x^4))
したがって，レムニスケート積分の倍角公式
2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt
２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^4）^1/2／（１＋ｘ^4））
が成り立つ．2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)もｘから四則演算および平方根により得られるので，円同様，レムニスケートも定規とコンパスだけで弧長を２倍にする作図が可能であることを示している．
実際，ファニャーノは倍角公式，４倍角公式によって得られるものに置き換えて，レムニスケートの四半弧の２等分あるいは４等分を与える代数方程式を導いたとされている．たとえば，レムニスケートサインの倍角公式より，
２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）＝１
と置くことによって
ｚ^2＝√２−１
ｚ＝(-1+√2)^1/2=0.643594
が得られる．すなわち，レムニスケート弧長の２等分点は四則演算および平方根により得られるので，円同様，レムニスケートの４半弧も定規とコンパスだけで弧長を１／２倍にする作図が可能であることが示される．
［補］１７５１年，オイラーは逆正弦関数の加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）
との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理
Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））
を構成することに成功している．加法公式においてｘ＝ｙとおけば，倍角公式を得ることができる．
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【２】レムニスケートサインのｎ倍角公式
レムニスケート弧長のｎ等分点を求めるには，sl(nu)=1として方程式を解いてsl(u)の値を求めることになるのだが，sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑であって，よほど筆算が好きな計算マニアであっても，この計算は到底太刀打ちできないであろう．おそらくファニャーノもレムニスケート弧長の３等分あるいは５等分を与える代数方程式を導いただけで，解を示すことはできなかったと思われる．
そこで，結論だけを示すと，３等分点は
sl(u/3)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421
で与えられる（→作図可能）．
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【３】レムニスケート積分からワイエルシュトラスの標準形へ
しかし，５等分点ともなると，Mathematicaで展開しても言葉が一切入らない数式が数ページにもおよび，どうしても５等分点は得られなかった．レムニスケート周長の５等分問題を扱うには，レムニスケートサインによる定式化ではうまくいきそうになく，ワイエルシュトラスの標準形
∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)
の特別な場合として扱うことにした．ワイエルシュトラスのペー関数ｐの加法公式は，レムニズケートサインの場合とは異なり，有理関数となるから，計算上のアドバンテージが得られるからだ．
∫(0,x)1/(1-x^4)^(1/2)dx
は変数変換
ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝−ｚ^(-3/2)／２ｄｚ
により
∫(x,∞)1/(4z^3-4z)^(1/2)dz
となる．これは慣用の記号でｇ2＝４，ｇ3＝０のワイエルシュトラスの標準形である．
ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると
［１］微分方程式は
（ｐ’）^2＝４ｐ^3−４ｐ
ｐ”＝６ｐ^2−２
ｐ^(3)＝１２ｐｐ’
ｐ^(4)＝１２０ｐ^3−７２ｐ
［２］加法定理
ｐ（ｕ＋ｖ）＝−ｐ（ｕ）−ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝−ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝−ｐ（ｖ｝）｝^2
は，ｖ→ｕの極限で倍角公式
ｐ（２ｕ）＝−２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2
＝−２ｐ＋１／４・（６ｐ^2−２）^2／（４ｐ^3−４ｐ）
＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）
を得る．
以下，ｖ→２ｕ，３ｕ，４ｕとすると３倍角，４倍角，５倍角公式が得られる．ここで，レムニスケートの４半弧を定規とコンパスで２等分できることを示すために
ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）
において，ｐ（ｕ）＝ｐ，ｐ（２ｕ）＝１とおく．すると，
（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）＝（４ｐ^3−４ｐ）
より，ｐ=1+√2=ｚ
ｘ＝１／√ｚ＝(-1+√2)^1/2=0.643594（→作図可能）
こうして，ファニャーノはレムニスケートの四半弧を同じ長さの２つの弧へ分解することができることを示した．もう一度この手続きを繰り返すと４半角公式，２等分を３回繰り返すと８半角公式，・・・．これによって１／２^n倍に対する値が導かれる．
ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝１＋√２
を解く．解析解はとても長くなるが，作図可能であることを示すことができる（近似解のみを示すと，ｐ＝９．３３０３４）．引き続き
ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝９．３３０３４
を解いて，ｐ＝３７．２４０７．
２等分点はｐ（ｕ）＝１＋√２ （作図可能）
３等分点はｐ（ｕ）＝１＋√３＋√（３＋２√３） （作図可能）
さらに，
ｐ（５ｕ）＝１
を解いて，
ｐ（ｕ）＝ｗ，ｚ＝１／√ｗ
とすると，
ｗ＝（２＋√５＋√（５＋２√５））＋√（−１＋（２＋√５＋√（５＋２√５））^2）＝１４．５５８８ （作図可能）
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【４】∫1/(1-x^6)^(1/2)dxの場合
ついでに
∫1/(1-x^6)^(1/2)dx
について考えてみたい．変数変換
ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝−ｚ^(-3/2)／２ｄｚ
により
∫(x,∞)1/(4z^3-4)^(1/2)dz
となる．これは慣用の記号でｇ2＝０，ｇ3＝４のワイエルシュトラスの標準形である．
ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると
［１］微分方程式は
（ｐ’）^2＝４ｐ^3−４
ｐ”＝６ｐ^2
ｐ^(3)＝１２ｐｐ’
ｐ^(4)＝１２０ｐ^3−４８
［２］加法定理
ｐ（ｕ＋ｖ）＝−ｐ（ｕ）−ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝−ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝−ｐ（ｖ｝）｝^2
は，ｖ→ｕの極限で倍角公式
ｐ（２ｕ）＝−２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2
＝−２ｐ＋１／４・（６ｐ^2）^2／（４ｐ^3−４）
＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）
を得る．
ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１
より，ｐ=1+√3=ｚ
ｘ＝１／√ｚ＝((-1+√3)/2)^1/2
ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１
より，ｐ=1+√3=ｚ（→作図可能）．
次に
ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１＋√３
を解く．解析解はとても長くなる．近似解のみを示すと
ｐ＝１０．８５１７
引き続き
ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１０，８５１７
を解いて，ｐ＝４３．４０２１．
すなわち，この曲線は定木とコンパスで弧長が２等分，４等分，８等分できることがわかったが，３等分点は
ｐ（ｕ）＝２＋２・２^1/3＋^2/3
で作図不可能であることも示される．
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