空間充填２^n＋２ｎ面体のｎ＝５のファセットには頂点数３０，切頂面には頂点数４８の図形，ｎ＝６のファセットには頂点数２０，切頂面には頂点数４０の図形ができる．

　格子空間で（ｘ，ｘ，ｘ／２，０，０）の置換を考えると１辺の長さはｘ／２・√２，（ｘ，ｘ，ｘ，０，０，０）では１辺の長さはｘ／２・√２になるから，それらは正単体・正軸体を基本形とすることがわかる．実際，それぞれの３（２）次元胞は，

［１］切頂八面体（正六角形）

［２］正２４胞体（正八面体）

［３］４２胞体（切頂四面体）

［４］７６胞体（正四面体）

となる．

　今回のコラムでは，空間充填２^n＋２ｎ面体のｆ3公式を求めてみたいと思う．

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［１］ｎ＝５のとき

　５次元正軸体の２次元面の中心と辺の中点の間を通る場合，４２胞体になるが，その３次元胞は正八面体と切頂四面体（頂点数１２）で囲まれる図形である．

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5とＰ4−Ｐ−Ｐ6でｃｏｓθ＝０となるが，実際に正方形面を作るのではなく，切頂面にできる正八面体の赤道となる．したがって，点Ｐは５枚の正三角形と８枚の正六角形で取り囲まれることになるから，点Ｐの周りに集まる３次元面は正八面体（頂点数６）１個と切頂四面体（頂点数１２）４個である．

　　ｆ3＝（１／６＋４／１２）・ｆ0＝ｆ0／２

　ｆ0＝２４０，ｆ1＝３ｆ0，ｆ2＝３ｆ0，ｆ3＝７ｆ0／６であれば，オイラー・ポアンカレの公式を一応満たすことになるのだが・・・．

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［２］ｎ＝６のとき

　６次元正軸体の２次元面の中心を通る場合，７６胞体になるが，その３次元面は正八面体と正四面体で囲まれる図形である．

　この場合も実際に正方形面や正六角形面を作るのではなく，したがって，点Ｐは５４枚の正三角形で取り囲まれることになるが，三角形ばかりでどのように正八面体（頂点数６）と正四面体（頂点数４）に振り分けられるのか，よくわからない．Ｐi−Ｐ−Ｐjの組み合わせが１５６もあるから仕方ないだろう．

　仮に，２４０胞あるから正四面体は２４０と逆算することはできるが，ｃｏｓθ＝−１／２が８１組あるから正八面体は８１／２とするのは無理と思われる．

　　ｆ3＝（６／４＋（８１／２）／６）・ｆ0

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