たとえば，４次元２^n＋２ｎ胞体の場合，切頂面上以外での２点（０，ｘ，−ｘ，０），（０，ｘ，０，−ｘ）が抜けていて，合計８点となり，矛盾はありません．

　一方，面の数は意外と厄介です（三角形ばかりの場合だと簡単かもしれませんが・・・）．そこで，ベクトルの内積を使って面の形を考え併せて求めることにしました．

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［１］ｎ＝３のとき

　第１象限にある頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）を考えてみます．鏡映対称変換によって，第１象限内に移る点はその置換３！個（＝正六角形）ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限内の点はＰ1（ｘ／２，ｘ，０），Ｐ2（ｘ，０，ｘ／２）の２点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）の周囲には４点（ｘ，±ｘ／２，０），（ｘ，０，±ｘ／２）からなる正方形ができますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ／２，０）と結ばれる第１象限以外の点はＰ3（ｘ，０，−ｘ／２）の１点です．

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝−１／２　　（正六角形）

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝−１／２　　（正六角形）

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０　　　　　（正方形）

　これより，

　　ｆ2＝（２／６＋１／４）・ｆ0＝１４

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［２］ｎ＝４のとき

　頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の置換は４！／２！２！＝６個（＝正八面体）ありますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限内の点はＰ1（ｘ，０，ｘ，０），Ｐ2（ｘ，０，０，ｘ），Ｐ3（０，ｘ，ｘ，０），Ｐ4（０，ｘ，０，ｘ）の４点です．

　また，頂点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）の周囲には６点（ｘ，±ｘ，０，０），（ｘ，０，±ｘ，０），（ｘ，０，０，±ｘ）からなる正八面体ができますが，直接，点Ｐ（ｘ，ｘ，０，０）と結ばれる第１象限以外の点はＰ5（ｘ，０，−ｘ，０），Ｐ6（ｘ，０，０，−ｘ），Ｐ7（０，ｘ，−ｘ，０），Ｐ8（０，ｘ，０，−ｘ）の４点です．

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ2：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ1−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ3：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ2−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ4：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ3−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ5：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝−１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ4−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ6：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ5−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ6−Ｐ−Ｐ7：　ｃｏｓθ＝０

　Ｐ6−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　Ｐ7−Ｐ−Ｐ8：　ｃｏｓθ＝１／２

　正方形と正六角形は関与しないので

　　ｆ2＝（１２／３）・ｆ0＝９６

となって正解が得られた．三角形ばかりの場合だと簡単だ．

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