楕円の求長問題∫ｄｓは第２種楕円積分の典型例となっている．どうしても第２種楕円積分を第１種楕円積分に直すことはできない．

　第１種楕円積分の加法公式でなく，第２種楕円積分に関する加法公式があれば楕円の弧長のｎ等分点の作図可能であるのだが，・・・．ともあれ，第１種楕円積分の加法定理を使うときは必要となる変更をせねばならない．

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【１】必要となる変更

　ＰＱの線素

　　ｄｓ＝ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2

は

　　ｘ’＝α（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2

を用いて

　　ｄｓ＝αｄｘ／ｘ’

一方，写像ｘ→ｘ’でｄｓを変換したものは

　　ｄｓ’＝αｄｘ’／ｘ

と書ける．

　ここで，Ｍ（ｘ，ｙ）をＰＱ上の任意の点，写像ｘ→ｘ’によるＭの像をＮとすると，

　　弧ＰＭの長さ：λ＝α∫(0,x)ｄｘ／ｘ’

　　弧ＱＮの長さ：λ’＝−α∫(0,x)ｄｘ’／ｘ

　　λ’−λ＝ｑαｘｘ’

が得られる．

　　ｄｘ’＝（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2・（ｐ−ｑ）ｘ／（１＋ｑｘ^2）^2ｄｘ

より，

　　λ＝α∫(0,x)ｄｘ／ｘ’＝α∫(0,x)（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2

　　λ’＝−α∫(0,x)ｄｘ’／ｘ＝−α∫(0,x)（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2・（ｐ−ｑ）／（１＋ｑｘ^2）^2ｄｘ

　　λ’−λ＝α∫(0,x)（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2・｛１＋（ｐ−ｑ）／（１＋ｑｘ^2）^2｝ｄｘ＝ｑαｘｘ’

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【２】第２種楕円積分の加法定理

　楕円ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの弧長は

　　ｓ＝∫(0,x)ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）／（１＋ｑｘ^2））^1/2

　　　＝∫(0,x)（１＋ｑｘ^2）ｄｘ／（（１＋ｐｘ^2）（１＋ｑｘ^2））^1/2

　　ｐ＝ａ／ｂ，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ

　　α＝√（−ｂ／ａ）

で与えられる．

　楕円の弧長の２等分点を求めるためには

　　Π(x)=∫F(x)dx/√P(x)

　　Ｐ（ｘ）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4

　　Ｆ（ｘ）＝γ＋βｘ^2

　　ｍ＝ｐ＋ｑ，ｎ＝ｐｑ

　　β＝ｑ，γ＝１

の場合だけ扱えればよく，Ｅ５８１によれば，その場合の加法定理は

　　Π(z)=Π(x)＋Π(y)＋βｘｙｚ

　楕円の弧長の２等分問題は倍角公式

　　Π(z)=２Π(x)＋βｘ^2ｚ

において，ｚ＝αのときのｘを求める問題になっている．β＝０の場合は

　　Π(z)=２Π(x)

で，加法定理

　　ｚ＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）＝α

が成り立つから代数的に求めることができるが，β≠０の場合，

　　Π(z)=２Π(x)＋βｘ^2ｚ

の計算は超越的であって，（２次までの）代数的過程では解けないことがわかるだろう．

　たとえ，第２種楕円積分に関する加法公式を利用できたとしても楕円の２等分は作図不可能な問題なのである．

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