ｄｓ＝ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2

において，第１種楕円積分∫ｄｓはレムニスケートの求長問題であるが，ｙ^2＝１−ｘ^4の有理数解，したがって，フェルマー方程式ｚ^4＝ｘ^4−ｙ^4の整数解を求める問題とほとんど同一の問題である．

　それに対して，円錐曲線ｙ^2＝ａｘ^2＋ｂの場合，この曲線はａ＜０のとき楕円，ａ＞０のとき双曲線であるが，ｙｄｙ／ｄｘ＝ａｘであるからその線素は

　　ｄｓ＝ｄｘ（（１＋ｑｘ^2）／（１＋ｐｘ^2））^1/2

　　ｐ＝ａ／ｂ，ｑ＝（ａ＋ａ^2）／ｂ

で与えられる．円ではａ＝−１，ｂ＝１，ｐ＝−１，ｑ＝０より

　　ｄｓ＝ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2

となる．

　楕円や双曲線の求長問題∫ｄｓは第２種楕円積分の典型例となっていて，楕円積分にある種の味わいを添えるものである．たとえば，単振り子の振動周期や楕円の弧長を求める問題を考える場合，k[0,1]をパラメータとする不完全積分

　　f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

　　f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)

　　F(z)=∫(0,z)f(x)dx

が絡んでくる．

　楕円積分

f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

sn^(-1)(x,k)=∫(0,x)f(x)dx

はヤコビの楕円関数の１種であるエスエヌ関数の逆関数である．また，

f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

K(k)=∫(0,1)f(x)dx

を第１種完全楕円積分，

f(x)={(1-k^2x^2)/(1-x^2)}^(1/2)

E(k)=∫(0,1)f(x)dx

を第２種完全楕円積分と呼ぶ．

　第１種楕円積分は特に重要であるが，第１種楕円積分

　　K(k)=∫(0,1)1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)dx　（ヤコビの標準形）

で，x=sinθと変換すると

　　K(k)=∫(0,π/2)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)　　（ルジャンドルの標準形）

また，x=sin^2θ，λ=k^2とおけば

　　K(k)=∫(0,1)dz/{(z(1-z)(1-λz)}^(1/2)　　　（リーマンの標準形）

が成立する．

　これらの不定積分は初等関数では表せないが，たとえば，第１種完全楕円積分は

　　K(k)=π/2{1+(1/2k)^2+(3/8k^2)^2+(5/16k^3)^2+･･･}

とベキ級数展開できる．

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【補】ヤコビの楕円関数

　ヤコビは第１種不完全楕円積分

f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)

ω=F(z)=∫(0-Z)f(x)dx

に対して，正弦関数をまねてF-1(ω)をsnω=F-1(ω)と定義し，

sn-1z=∫(0-Z)f(x)dx

を得ました．また，三角関数にならって

cnω=√(1-sn^2ω),dnω=√(1-k^2sn^2ω)

と定義しました．関数sn,cn,dnがヤコビの楕円関数です．また，ヤコビは指数関数に対応するテータ関数（周期関数）で，ヤコビの楕円関数を表すことにも成功しています．

　第１種不完全楕円積分において，ｋ→０とすると，

K(0)=∫(0-Z)f(x)dx=sin-1z

ｋ→１とすると，

K(1)=∫(0-Z)f(x)dx=tanh-1z

ですから，snωはsinωとtanhωの中間に位置していることがわかります．実際にベキ級数展開を求めると，

snω=ω-(1+k^2)/6ω^3-(3+2k^2+3k^4)/40ω^5+･･･

が得られます．

　また，完全楕円積分を用いると，

楕円：x^2/a^2+y^2/b^2=1の全周は4aE(b/a)

レムニスケート：(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)の全周は√(8)aK(1/√(2))

糸の長さｌの単振り子の周期はT=4√(l/g)K(k)

したがって，振幅が小さいときT〜2π√(l/g)と表すことができます．

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