１辺の長さ１の立方体の体積は１，正六角柱の体積は３√３／２，切頂八面体の体積は８√２，同様に菱形十二面体，長菱形十二面体の体積も求めることができます．

　今回のコラムでは，線分の「ミンコフスキー和」

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

として求積することを考えてみます．

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【１】平行多面体

　平行多面体による空間充填形はもっと高い次元の立方格子の３次元への射影になっている．平行多面体のうち１４面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる．

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【２】菱形十二面体の計量

　菱形十二面体では

　　ｖ1（１，１，１）

　　ｖ2（１，−１，１）

　　ｖ3（−１，１，１）

　　ｖ4（−１，−１，１）

をそれぞれノルムで割って規格化したものから３つ選ぶ，すなわち（４，３）個の項をもつ．

　長菱形十二面体では

　　ｖ1（１，１，１）

　　ｖ2（１，−１，１）

　　ｖ3（−１，１，１）

　　ｖ4（−１，−１，１）

　　ｖ5（０，０，１）

をそれぞれノルムで割って規格化したものから３つ選ぶ，すなわち（５，３）個の項をもつ．

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