【１】アダマール行列
アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから， ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn
が成り立つ．
最も簡単なアダマール行列は
Ｈ2 ＝［１， １］
［１，−１］
である．すべての他のアダマール行列はｎ＝４ｋであることが必要である．
とくに興味深いのは「直積」
Ｈ4＝Ｈ2×Ｈ2，Ｈ8＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2，・・・
によって，Ｈ2から得られるｎ＝２^mのシルベスタ型のアダマール行列で，
［１， １， １， １］
Ｈ4 ＝［１，−１， １，−１］
［１， １，−１，−１］
［１，−１，−１， １］
［１， １， １， １， １， １， １， １］
［１，−１， １，−１， １，−１， １，−１］
［１， １，−１，−１， １， １，−１，−１］
Ｈ8 ＝［１，−１，−１， １， １，−１，−１， １］
［１， １， １， １，−１，−１，−１，−１］
［１，−１， １，−１，−１， １，−１， １］
［１， １，−１，−１，−１，−１， １， １］
［１，−１，−１， １，−１， １， １，−１］
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【２】アダマールの定理
ｄｅｔ｜ｎＩn｜＝ｎ^n
より
ｄｅｔ｜Ｈn｜＝ｎ^n/2
であるが，もっと一般に，各成分が１か−１のｎ×ｎ行列の行列式はｎ^n/2以下である．
アダマールの定理の証明は，行列式の幾何学的意味を理解すれば簡単である．行列式の絶対値は，ｎ個のそれぞれの長さ√ｎの行ベクトルが作るｎ次元平行六面体の体積だから，その値は（√ｎ）^n＝ｎ^n/2以下である．等号はベクトル同士が全部直交するときに限る．
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【３】アダマール行列の応用
アダマール行列は，ＦＦＴ（高速フーリエ変換）の基本原理とも関係している．
［１， １， １， １］
Ａ＝［１， １，−１，−１］
［１，−１， １，−１］
［１，−１，−１， １］
［ｕ1］ ［ｖ1］ ［ｕ1’］ ［ｖ1’］
ｕ＝［ｕ2］ ｖ＝［ｖ2］ ｕ’＝［ｕ2’］ ｖ’＝［ｖ2’］
［ｕ3］ ［ｖ3］ ［ｕ3’］ ［ｖ3’］
［ｕ4］ ［ｖ4］ ［ｕ4’］ ［ｖ4’］
とおく．
ＡＡ’＝Ａ’Ａ＝４Ｉ4
が成り立つ．Ｉ4は４次の単位行列で，1/2Ａは直交行列である．
ｕ’＝1/2Ａｕ，ｖ’＝1/2Ａｖ
とおく．具体的には
ｕ1’＝１／２（ｕ1＋ｕ2＋ｕ3＋ｕ4）
ｕ2’＝１／２（ｕ1＋ｕ2−ｕ3−ｕ4）
ｕ3’＝１／２（ｕ1−ｕ2＋ｕ3−ｕ4）
ｕ4’＝１／２（ｕ1−ｕ2−ｕ3−ｕ4）
ｖ1’＝１／２（ｖ1＋ｖ2＋ｖ3＋ｖ4）
ｖ2’＝１／２（ｖ1＋ｖ2−ｖ3−ｖ4）
ｖ3’＝１／２（ｖ1−ｖ2＋ｖ3−ｖ4）
ｖ4’＝１／２（ｖ1−ｖ2−ｖ3−ｖ4）
である．
このとき，
Σｕ’ｖ’＝Σｕｖ
が成立する．
これより，リーマンのテータ公式
Πθ00(xi)＋Πθ01(xi)＋Πθ10(xi)＋Πθ11(xi)＝２Πθ00(yi)
が得られる．
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【４】ヤコビの３重積公式
さらに，テータ関数の無限積表示は
θ（ｚ，τ）＝Π（１−ｅ（ｍτ））ｐ（ｚ，τ）
と書ける．
ここで，
(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)
なる記号を導入すると
(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)
になるが，ヤコビの３重積公式
Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))
は
(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m x=-z
と表現される．ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表している．
［１］ヤコビの３重積公式において，ｑをすべてｑ^3に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺はΠ(1-q^3n)(1-q^3n-1)(1-q^3n-2)=Π(1-q^n)=(q;q)∞となり，
Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2) （オイラーの５角数定理）
と表される．
オイラーは
(1)ｎが五角数でない限り，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数と奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数が等しいこと，
(2)ｎが五角数ならば，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数−奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数＝（−１）^k，ｎ＝ｋ（３ｋ＋１）／２
を示したことになる．
［２］また，ｑをすべてｑ^2に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺は
Π(1-q^2n)(1-q^2n-1)^2
ここで，異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという結果に対応する
Π(1-q^2n-1)=Π1/(1+q^n)
より，
Π(1-q^n)/(1+q^n)=Σ(-1)^m･q^(m^2) （ガウスの４角数定理）
［３］今度はｘ＝−ｑとすれば，(-1;q)∞=2Π(1+q^n)より，左辺は
2Π(1-q^2n)(1+q^n-1)=2Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)
右辺はΣ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)であるが，m(m+1)/2はm=-1/2について対称であるから和を取る範囲をm:-∞~∞からm:0~∞に狭めることができて
Σ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)=2Σ(0~∞)q^(m(m+1)/2)
これより
Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)=Σq^(m(m+1)/2) m:0~∞ （ガウスの３角数定理）
［４］ｘ＝δとすれば，
(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=(1-δ)(δq;q)∞(q/δ;q)∞(q;q)∞
Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m=Σ(1~∞)(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･(δ^m-δ^-m+1)=Σ(0~∞)(-1)^m+1･q^(m(m+1)/2)･δ^-m(δ^2m+1-1)
両辺を(1-δ)で割り，δ→１とすれば，
左辺→Π(1-q^n)^3
右辺→Σ(0~∞)(-1)^m-1･(2m+1)q^(m(m+1)/2)
より，
Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2) （ヤコビの３角数定理）
［５］三角数等式
ヤコビの三重積公式
Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))
において，ｚ＝１とすれば，
Σq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^2n)(1+q^(n-1))
が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，
Π(1+q^n)(1-q^2n+2)=Σq^(m(m+1)/2) m:-∞~∞
［６］七角数等式
ｑをすべてｑ^5に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，
Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)=Π(1-q^5n)(1-q^5n-1)(1-q^5n-4)
が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，
Π(1-q^5n+1)(1-q^5n+4)(1-q^5n+5)=Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2) m:-∞~∞
［７］ｍ角数等式
ｑをすべてｑ^m-2に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，
Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)=Π(1-q^(m-2)n)(1-q^(m-2)n-1)(1-q^(m-2)n+1)
が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，
Π(1-q^(m-2)(n+1))(1-q^(m-2)(n+1)-1)(1-q^(m-2)(n+1)+1)=Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2) m:-∞~∞
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