［参］深川英俊・ダンペドー「日本の幾何−何題解けますか？」森北出版

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【１】デカルトの４円定理（１６４３年）

（Ｑ）互いに外接する３個の円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）がある．これらすべてに外接する円の半径ｒを求めよ．

（Ａ）ｒ＝ｒ1ｒ2ｒ3／｛ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1＋２√ｒ1ｒ2ｒ3（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝

＝１／｛１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋２√（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）｝

　相異なる２つの球面Ｓ1，Ｓ2の中心をｘ1，ｘ2，半径をｒ1，ｒ2とするとき，Ｓ1，Ｓ2が接するための必要十分条件は

　　｜ｘ1−ｘ2｜＝｜ｒ1±ｒ2｜

となることである．±は外接か内接かに対応している．

　一般にＲ^n内の互いに接するｎ＋２個の球面の系があるとする．このとき，接点がすべて異なるならばこれらｎ＋２個の球面はすべて外接するか，または，ある球面が他のｎ＋１個の球面を含むことになる．このような互いに接するｎ＋２個の球面の系については，球面の半径の逆数に関する単純な等式がある．

　　（Σ１／ｒi）^2＝ｎΣ（１／ｒi）^2

　ただし，Ｓjが他の球面をすべて含むときはｒj＝−（Ｓjの半径）とする．このようにすることで，接する２つの球面間の距離が常に｜ｘi−ｘj｜＝｜ｒi＋ｒj｜で表される．

　ｎ＝２の場合，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2

が成立し

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

１／ｒ^2＋２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）＋（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

１／ｒ^2−２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）−（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）＋２（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）＝０

　この２次方程式を整理すると（Ａ）と同じ式が得られる（デカルトの円定理）．ｎ＝２，３の場合は和算家達によっても得られていた（デカルトの円定理の拡張）．

（Ｑ）与えられた円（半径Ｒ）の内部に互いに外接する３個の等円（半径ｒ）があるとき，ｒを求めよ．

（Ａ）この場合は

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

において，ｒ1＝ｒ2＝ｒ3＝ｒ，ｒ＝−Ｒとする．　→　ｒ＝（２√３−３）Ｒ

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【２】ソディーのhexlet（６球連鎖）

　ソディーの定理（１９３６年）とは「半径ａ，ｂ，ｃなる互いに接する３個の球Ｋ1，Ｋ2，Ｋ3のどれにも接する球Ｓiの鎖の数は，常に６個となり，球の半径の逆数をρi (i=1~6)とすると

　　ρ1＋ρ4＝ρ2＋ρ5

が成立する」というものである．

　これには５個の互いに外接する球に関するデカルトの定理

　　（Σ１／ｒi）^2＝３Σ（１／ｒi）^2

が使われている．ソディーは同位元素の研究でノ−ベル化学賞を受賞した化学者であるが，彼もまたデカルトの定理を再発見したのである．

　この定理も１００年以上も前（１８２２年）に和算家が得ていたものであるが，特に名前はつけていない．

　とくに，球Ｋ1（ｒ）内に互いの外接する２個の等しい球Ｋ2（ｒ／２），Ｋ3（ｒ／２）が内接していて，それらに外接する６個の等しい球Ｓ1-6がループを作っているとき，その半径はｒ／３となる．

　また，半径Ｒの球に正四面体をなすように互いに外接する４個の半径の等しい大球（半径ｒ1）を内接させる．正四面体の各面の中心の隙間に４個の中球（半径ｒ2），その隙間に１２個の小球（半径ｒ3）をおくと，６個の内接球ｒ1ｒ2ｒ3ｒ3ｒ2ｒ1のループができる．

　このとき

　　ｒ1＝（√６−２）Ｒ，

　　ｒ2＝（√６−２）Ｒ／５，

　　ｒ3＝（３√６−２）Ｒ／２５

を得るが，これは１０才の少年により提出された和算の問題だそうである．有名なソディーと無名の１０才の少年・・・．

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【３】おまけ（数珠つなぎの円板）

　１世紀半前（１８５６年）の和算の有名な問題に「数珠つなぎの円板」がある．

（Ｑ）同じ大きさの円がｎ個連結して輪を作っている．円の中心を結んでできる多角形の内側にある面積と外側にある面積を求めよ．

（Ａ）ｎ個の円は互いに重なり合わず接しているから円の中心を結んでできる多角形はｎ角形である．その内角の和はπ（ｎ−２）となるが，内側にある扇形の面積は中心角に比例するから，これは円

　　π（ｎ−２）／２π＝ｎ／２−１

個分の面積に相当する．したがって，外側にある面積は円ｎ／２＋１個分である．

　円が何個つながっていようともｎに関係なく外側の面積は内側の面積よりも常に円２個分広いわけである．

　　Ｓ2−Ｓ1＝２πｒ^2

　このことは少なくとも私にとっては意外な結果であり，いまでも強く印象に残っている．この問題を解析的に解こうとすると（グレブナー基底を用いた）ロボットアームの可動範囲の特定にも応用できそうな現代的な問題になるからである．以下，その概略を述べてみよう．

　単位円（半径１）の場合について考えてみるが，円の中心を（ｘi，ｙi）とし，（ｙi+1−ｙi）／（ｘi+1−ｘi）＝ｔａｎθiとおく．（ｘ1，ｙ1）＝（０，０），（ｘ2，ｙ2）＝（２，０）として標準化するが，

　　ｘ1＝ｘn+1＝０，ｙ1＝ｙn+1＝０，ｃｏｓθ1＝１，ｓｉｎθ1＝０

　隣り合う円は接することより

　　ｘn+1−ｘn＝２ｃｏｓθn，ｙn+1−ｙn＝２ｓｉｎθn

　　ｘn＝２Σｃｏｓθn，ｙn＝２Σｓｉｎθn

ここで，円が連結して輪を作っていることより

　　（Σｃｏｓθn）^2＋（Σｓｉｎθn）^2＝１

　　ｃｏｓθ2＋ｃｏｓθ3＋・・・＋ｃｏｓθn＝−１

　　ｓｉｎθ2＋ｓｉｎθ3＋・・・＋ｓｉｎθn＝０

　また，円同士が互いに重ならないことから

　　（ｘj−ｘk）^2＋（ｙj−ｙk）^2≧１

このことから，たとえばｎ＝４では

　　ｃｏｓ（θ2−θ3）≧−１／２，ｃｏｓ（θ3−θ4）≧−１／２

　　ｃｏｓ（θ2−θ3）＋ｃｏｓ（θ3−θ4）＋ｃｏｓ（θ4−θ2）≧−１

　　ｃｏｓθ2≧−１／２，ｃｏｓθ2＋ｃｏｓθ3＋ｃｏｓ（θ2−θ3）≧−１

など多くの付帯条件が成立することが必要になる．

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