直角三角形では，斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．
ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として
ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）
が形も簡単で広く用いられています．
｛（ｎ^2−１）／２｝^2＋ｎ^2＝｛（ｎ^2＋１）／２｝^2
（ｎ^2−１）^2＋（２ｎ）^2＝（ｎ^2＋１）^2
のように文字を一つだけ使ったのでは，ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが，二つの文字を使った公式
（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）^2
では全部を表すことができます．逆に，この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります．
２００８年に，ピタゴラス三角形ばかりを生成し，しかもすべて網羅する行列
［−１，−２，２］
Ｐ＝［−２，−１，２］
［−２，−２，３］
［参１］小林吹代「ピタゴラス数を生み出す行列のはなし」ベレ出版
のことをを紹介しました．驚くべきことに行列Ｐが発見されたのは５０年くらい前のことなのだそうです．
最近出版されたばかりの
［参２］細矢治夫「ピタゴラスの三角形とその数理」共立出版
のもっと詳細な解説がありますので，行列Ｐが出てくる舞台裏に隠されている数学的な本質（金鉱脈）について知りたい方はぜひ購読（お買い上げのうえ読破）されるとよいでしょう．
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【１】ピタゴラス三角形の生成行列
［−１，−２，２］
Ｐ＝［−２，−１，２］
［−２，−２，３］
とします．この行列の逆行列Ｐ^-1はＰ自身で，
Ｐ^-1＝Ｐ，｜Ｐ｜＝−１
になっています．
ここでａを奇数，ｂを偶数，ｃを奇数と約束し，（ａ，ｂ，ｃ）＝（４，３，５）ではなく，（３，４，５）を選ぶことにします．そして（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５）’を第１象限上のベクトルとみると，Ａ＝（−３，４，５）’は第２象限，Ｂ＝（−３，−４，５）’は第３象限，Ｃ＝（３，−４，５）’は第４象限上のベクトルとみなすことができます．このとき，
ＰＡ＝（５，１２，１３）’
ＰＢ＝（２１，２０，２９）’
ＰＣ＝（１５，８，１７）’
はすべてピタゴラス三角形になります．
変換後のピタゴラス三角形は変換前より大きくなりますから，最小の既約ピタゴラス三角形として（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５）を選ぶとすべての既約ピタゴラス三角形をもれなくつくり，しかも既約ピタゴラス三角形以外はつくらない変換になっていることが証明されます．
なお，この変換の裏には
［ｍ’］＝［１，−２］［ｍ］
［ｎ’］ ［０，−１］［ｎ］
が潜んでいます．
Ｒ＝［１，−２］
［０，−１］
とおくと，
Ｒ^-1＝Ｒ，｜Ｒ｜＝−１
を満たします．
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【２】バーニングとホールのピタゴラス三角形生成行列
１９７０念に，アメリカのホールは
［１，−２，２］ ［ １， ２，−２］
Ｕ＝［２，−１，２］ Ｕ^-1 ＝［−２，−１， ２］
［２，−２，３］ ［−２，−２， ３］
［１，２，２］ ［ １， ２，−２］
Ａ＝［２，１，２］ Ａ^-1 ＝［ ２， １，−２］
［２，２，３］ ［−２，−２， ３］
［−１，２，２］ ［−１，−２， ２］
Ｄ＝［−２，１，２］ Ｄ^-1 ＝［ ２， １，−２］
［−２，２，３］ ［−２，−２， ３］
という３つの３次正方行列Ｕ（up），Ａ（across），Ｄ（down）を発見した．ホールとまったく同じことをオランダのバーニングが１９６３年に発見していたことが後に判明した．
Ｐ＝（３，４，５）’
にかけると
ＵＰ＝（５，１２，１３）’
ＡＰ＝（２１，２０，２９）’
ＤＰ＝（１５，８，１７）’
はすべてピタゴラス三角形になる．さらに，この３つのベクトルにＵ，Ａ，Ｄをかけると，あらたに９つのピタゴラス三角形になる．
バーニングとホールはこの操作を無限に続けていくことによって，すべての既約ピタゴラス三角形をもれなくつくり，しかも既約ピタゴラス三角形以外はつくらない変換になっていることを証明したのである．
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行列の一部の要素の符号を変えただけで逆行列ができてしまうところが不思議である．また，
｜Ｕ｜＝｜Ｄ｜＝１，｜Ａ｜＝−１
とＡだけが違う結果になる．
さらにＵとＤについては
［ｋ^2， −２ｊｋ， ２ｊｋ］
Ｕ^j/k＝１／ｋ^2［２ｊｋ，ｋ^2−２ｊ^2，２ｊ^2］
［２ｊｋ，−２ｊ^2， ｋ^2＋２ｊ^2］
［ｋ^2−２ｊ^2，２ｊｋ，２ｊ^2］
Ｄ^j/k＝１／ｋ^2［−２ｊｋ， ｋ^2， ２ｊｋ］
［−２ｊ^2， ２ｊｋ，ｋ^2＋２ｊ^2］
で与えられる．
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【補】アイゼンシュタイン三角形の生成行列
ピタゴラス三角形とよく似た三角形に三辺の長さが整数であって，二辺ａ，ｂのあいだの角が１２０°である鈍角三角形があります．一松信先生はこの三角形をアイゼンシュタイン三角形と呼んでいますが，この三角形はピタゴラスの定理の拡張である余弦定理ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ・ｃｏｓＣより，
ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2
を満たします．
この一般解は
ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）
と表現でき，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，５，７），（７，８，１３），（５，１６，１９），・・・など無限に存在します．
［−３，−４，４］
Ｑ＝［−４，−３，４］
［−６，−６，７］
とし，第１象限上のベクトル（ａ，ｂ，ｃ）’に対して，第２象限上のベクトルＡ＝（−ａ，ａ＋ｂ，ｃ）’，Ｂ＝（−ａ−ｂ，ａ，ｃ）’，第３象限上のベクトルＣ＝（−ｂ，−ａ，ｃ）’，第４象限上のベクトルＤ＝（ｂ，−ａ−ｂ，ｃ）’，Ｅ＝（ａ＋ｂ，−ｂ，ｃ）’とおくと，ＱＡ，ＱＢ，ＱＣ，ＱＤ，ＱＥはすべてアイゼンシュタイン三角形になります．
この行列も
Ｑ^-1＝Ｑ，｜Ｑ｜＝−１
を満たします．なお，この変換の裏にも
［ｍ’］＝［１，−２］［ｍ］
［ｎ’］ ［０，−１］［ｎ］
が潜んでいます．
ピタゴラス三角形の場合，先祖は（３，４，５）だけでしたが，アイゼンシュタイン三角形の先祖は（３，５，７）と（８，７，１３）の２組あり，２組の先祖からアイゼンシュタイン三角形が網羅されます．
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