平行体の体積は

［１］漸化式

［２］行列式（グラミアン）

で与えられる．

　［１］［２］の２通りに計算することは家計簿つけのシーンに喩えられる．まず行ごとの合計を求めてそれを総計する．次に列ごとの合計を求めてそれを総計する．そして計算が正しければその２つの計算結果は一致するというわけである．すなわち，［１］だけでは計算の正しさを確認することができないのであるが，［２］の計算量は膨大になる．

　ｎ次元置換多面体はｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル，また，その正軸体版はｍ＝ｎ（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ^2組の平行なｎ次元ベクトル

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

をもつ．したがって，これらの体積は線分のミンコフスキー和

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

で与えられる．（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味しているが，次元が高くなるにつれて［２］は大変難しくなるはず・・・と思っていた．ところが，・・・

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　先日，阪本ひろむ氏に［２］の計算プログラムを組んでもらったのであるが，Mathematicaには便利な組み込み関数があり，

　　Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝

の定義さえ済めば，予想以上に速く計算が完了する．

　なお，大菱形立方八面体の高次元版ではｎ^2組の平行なｎ次元ベクトルがあるが，小菱形立方八面体や切頂立方体，立方八面体の高次元版では平行辺の組数はもっと少なくなる．しかしながら，ゾノトープではないので，

　　ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜

は適用できないことを注意しておく．

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