ｎ次元置換多面体はｍ＝ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトル，また，その正軸体版はｍ＝ｎ（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ^2組の平行なｎ次元ベクトル
Ｖ＝｛ｖ1，・・・，ｖm｝
をもつ．ｖiは辺に沿ったベクトルである．
したがって，これらの体積は線分のミンコフスキー和
ｖｏｌ（Ｖ）＝Σ｜ｄｅｔ（ｖi1，・・・，ｖin）｜
で与えられる．すなわち，（ｍ，ｎ）個の項をもつこの公式は，複体を平行体（parallelepiped）に分解してそのミンコフスキー和ととることを意味している．
なお，このベクトル配置は１次従属になることもあり，その場合，ある項はゼロになるから（ｍ，ｎ）個以下の平行体に分解できることになる．
［１］ｎを空間の次元とすると，（ｖi，ｖj）＝ｄｅｔ（Ｖ）^2となるのは，ｎ×ｎのときであり，それ以外では成り立たない（佐武一郎「線型代数学」）
［２］ベクトルｖ1，ｖ2，・・・，ｖnがあるとき，ｄｅｔ（（ｖi，ｖj））＝０であるための必要十分条件は，ｖ1，ｖ2，・・・，ｖnが一次独立でないということである．
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【１】置換多面体の場合
稜の長さが√２の正単体の高さＨnは，
Ｈn＝√（１＋１／ｎ）
で与えられる．すなわち，辺の長さを１に規格化すると，高さは
Ｈn＝√（１＋１／ｎ）／√２
で与えられる．
（ｎ＋１）次元の場合，新しく加わった軸上の正の側に１辺の長さが１となるように新しい頂点を取り，中心が原点にくるように全体を平行移動させると，
Ｈn・ｎ／（ｎ＋１）＝√（ｎ／２（ｎ＋１））
−Ｈn・１／（ｎ＋１）＝−√（１／２ｎ（ｎ＋１））
より，具体的な座標値は
（−１／２， −√（１／１２），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））
（＋１／２， −√（１／１２），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））
（０，√（１／３），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））
（０，０，√（３／８），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））
（０，０，０，√（２／５），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））
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（０，０，０，０，・・・，＋√（ｎ／２（ｎ＋１）））
となる．
たとえば，２次元正単体の３頂点は
（−１／２，−√（１／１２））
（＋１／２，−√（１／１２））
（０，√（１／３））
３次元正単体の４頂点は
（−１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））
（＋１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））
（０，√（１／３），−√（１／２４））
（０，０，√（３／８））
そこで，
ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））
とおくと，
Ｐ0（−ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）
Ｐ1（＋ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）
Ｐ2（０，＋２ａ2，−ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）
Ｐ3（０，０，＋３ａ3，−ａ4，・・・，−ａn）
Ｐ4（０，０，０，＋４ａ4，・・・，−ａn）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
Ｐn（０，０，０，０，・・・，＋ｎａn）
Ｐ0が原点になるように平行移動させると，
Ｐ0（０，０，０，０，・・・，０）
Ｐ1（２ａ1，０，０，０，・・・，０）
Ｐ2（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）
Ｐ3（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・
Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）
Ｐn（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）
ｎ（ｎ＋１）／２組の平行なｎ次元ベクトルは
Ｐ0Ｐ1＝（２ａ1，０，０，０，・・・，０）
Ｐ0Ｐ2＝（ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）
Ｐ0Ｐ3＝（ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）
Ｐ0Ｐ4＝（ａ1，ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
Ｐ0Ｐn-1（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）
Ｐ0Ｐn＝（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）
Ｐ1Ｐ2＝（−ａ1，３ａ2，０，０，・・・，０）
Ｐ1Ｐ3＝（−ａ1，ａ2，４ａ3，０，・・・，０）
Ｐ1Ｐ4＝（−ａ1，ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
Ｐ1Ｐn-1（−ａ1，ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）
Ｐ1Ｐn＝（−ａ1，ａ2，ａ3，・・・，（ｎ＋１）ａn）
Ｐ2Ｐ3＝（０，−２ａ2，４ａ3，０，・・・，０）
Ｐ2Ｐ4＝（０，−２ａ2，ａ3，５ａ4，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・・
Ｐ2Ｐn-1（０，−２ａ2，ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）
Ｐ2Ｐn＝（０，−２ａ2，ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）
Ｐ3Ｐ4＝（０，０，−３ａ3，５ａ4，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・・
Ｐ3Ｐn-1（０，０，−３ａ3，ａ4，・・・，ｎａn-1，０）
Ｐ3Ｐn＝（０，０，−３ａ3，ａ4，・・・，（ｎ＋１）ａn）
Ｐn-1Ｐn＝（０，０，０，・・・，−（ｎ−１）ａn-1，（ｎ＋１）ａn）
であって，それぞれノルムで割って規格化する必要がある．
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【２】正軸体版の場合
ｎ次元立方体の頂点は
（±１，±１，・・・，±１）
ｎ次元正軸体の頂点の座標は
（±１，０，・・・，０）
（０，±１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，±０，・・・，１）
で与えられるから，ｎ^2組の平行な規格化ｎ次元ベクトルは
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
（±１，−１，０，・・・，０）／√２
（±１，０，−１，・・・，０）／√２
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（±１，０，０，・・・，−１）／√２
（０，±１，−１，０，・・・，０）／√２
（０，±１，０，−１，・・・，０）／√２
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（０，±１，０，０，・・・，−１）／√２
（０，０，・・・，±１，−１）／√２
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【補】分割行列の逆行列についての補足
Ｈ＝［Ａ，Ｂ］ Ｈ~ ＝［Ｏ，Ｐ］
［Ｃ，Ｄ］ ［Ｑ，Ｒ］
ここではＨは対称行列ですから，Ｃ＝Ｂ’．このときＨ~も対称行列となり，Ｑ＝Ｐ’ですから，
Ｄ~Ｃ［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~＝（Ａ~Ｂ［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~）’
が成り立ちます．
また，対称行列において，
（Ａ＋ＢＤＣ）~＝Ａ~−Ａ~Ｂ（ＣＡ~Ｂ＋Ｄ~）ＣＡ~
上記の
Ｏ＝［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~，Ｐ＝−Ａ~Ｂ［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~
Ｑ＝−Ｄ~Ｃ［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~，Ｒ＝［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~
は
Ｏ＝Ａ~＋Ａ~Ｂ［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~ＣＡ~
Ｐ＝−［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~ＢＤ~
Ｑ＝−［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~ＣＡ~
Ｒ＝Ｄ~＋Ｄ~Ｃ［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~ＢＤ~
とも書くことができます．これらの式は次数の高い逆行列の計算を，より次数の低い行列の逆行列から求める際に有用となります．
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