単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対しても，ｍ乗和

　　Σ(1,n)｜ＱＰj｜^m

を計算する．

　（その７５）では，ｍが偶数のとき，

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝mＣm/2・ｎ（＝定数）

が成り立つことをみたが，（ただしｎ＞ｍ／２）という条件がどこから派生するのかは明らかにならなかった．今回のコラムでは，ｍが奇数のときの形を与えておくが，定数にならないことがわかる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ｐj（ｃｏｓ２πｊ／ｎ，ｓｉｎ２πｊ／ｎ）

　　Ｑ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）

　　ＱＰj^2＝２−２ｃｏｓ（２πｊ／ｎ−θ）＝４ｓｉｎ^2（πｊ／ｎ−θ／２）

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝Σ２^mｓｉｎ^m（πｊ／ｎ−θ／２）

　ここで，この式から三角関数を消去する．

　　Θ＝πｊ／ｎ−θ／２

　　ｓｉｎΘ＝（ｅｘｐ（ｉΘ）−ｅｘｐ（−ｉΘ））／２ｉ

　　ｓｉｎ^mΘ＝｛（ｅｘｐ（ｉΘ）−ｅｘｐ（−ｉΘ））／２ｉ｝^m

＝（−１）^m/2／２^mΣ（−１）^k・mＣkｅｘｐ（ｋｉΘ）ｅｘｐ（−（ｍ−ｋ）ｉΘ）

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝Σ（−１）^m/2+k・mＣkΣｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉΘ）

＝Σ（−１）^m/2+k・mＣkｅｘｐ（−（２ｋ−ｍ）ｉθ／２）Σｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπｊ／ｎ）

　ｍが奇数のときは

　　（−１）^1/2＝ｉ

　　（−１）^3/2＝−ｉ

　　（−１）^5/2＝ｉ，・・・

である．

　また，

　　Σｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπｊ／ｎ）

＝（ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ）−１）／（ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ／ｎ）−１）・ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ／ｎ）

＝−２ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ／ｎ）／（ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ／ｎ）−１）

より，

　　Σ｜ＱＰj｜^m＝２Σ（−１）^m/2+k+1・mＣkｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉ（π／ｎ−θ／２））／（ｅｘｐ（（２ｋ−ｍ）ｉπ／ｎ）−１）

となって，θの関数となる（≠定数）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝