ｎ次元基本単体（ｎ＋１胞体）をｎ−１回切頂・切稜すると２ｎ胞体ができる．この分解体の体積を求めてみると

［１］置換多面体では，原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

とすると，置換多面体の体積公式は

　　Ｖn＝（Ｎ0Ｖn-1Ｈ0＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ

であるから，（ｎ＋１）！で割ると

　　Ｖn’＝（Ｖn-1Ｈ0／１！ｎ！＋Ｖn-2Ｈ1／２！（ｎ−１）！＋・・・＋Ｖn-2Ｈn-2／（ｎ−１）！２！＋Ｖn-1Ｈn-1／ｎ！１！）／ｎ

［２］正軸体版では，原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

とすると，正軸体版の体積公式は

　　Λn＝（Ｎ0Λn-1Ｈ0＋Ｎ1Λn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ

であるから，２^nｎ！で割ると

　　Λn’＝（Λn-1Ｈ0／２^n-1１！（ｎ−１）！＋Λn-2Ｈ1／２^n-2２！（ｎ−２）！＋・・・＋Ｖn-2Ｈn-2／２^1（ｎ−１）！！＋Ｖn-1Ｈn-1／ｎ！）／ｎ

　平行体の体積は

［１］漸化式

［２］行列式（グラミアン）

で与えられるが，上述したことは［１］［２］の中間的表記といえるだろう．

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