平行体の体積は
［１］漸化式
［２］行列式（グラミアン）
で与えられるが，正月休みに［２］のいい方法はないかと考えていたのだが断念．
ｎ次元基本単体（ｎ＋１胞体）をｎ−１回切頂・切稜すると２ｎ胞体ができる．２次元ではこの分解体の体積を求めることは簡単であるが，３次元では結構大変な作業となる．すべての辺の長さを求めて，適宜組み合わせて体積を計算する作業はｎ！のオーダーになるので，次元が高くなるにつれて［２］は大変難しくなるのである．
とりあえす［１］の方法で体積計算することにしたのだが，［１］だけでは計算の正しさを確認することができない．［１］［２］の２通りに計算することは家計簿つけのシーンに喩えられる．まず行ごとの合計を求めてそれを総計する．次に列ごとの合計を求めてそれを総計する．そして計算が正しければその２つの計算結果は一致するというわけである．
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【１】置換多面体の場合
［１］切頂・切稜点
Ｐ0（０，・・・，０）
Ｐ1（ａ1，０，・・・，０）
Ｐ2（ａ1，ａ2，０，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・
Ｐn（ａ1，・・・，ａn）
ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））
ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）
とおく．
１／ａj-1^2＋１／ａj^2＝２（ｊ−１）ｊ＋２ｊ（ｊ＋１）＝（２ｊ）^2
より
（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2
は
（ｙj-1−ｙj）／２ｊ＝（ｙj−ｙj+1）／２（ｊ＋１）
となる．
点Ｑ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn-1，０）から，
ｘ1＝ａ1平面
ｘ1／ａ1−ｘ2／ａ2＝０平面
・・・・・・・・・・・・・・・
ｘn-2／ａn-2−ｘn-1／ａn-1＝０平面
までの距離が等しいことより，
（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）／２＝（ｙ2−ｙ3）／３＝・・・＝（ｙn-2−ｙn-1）／（ｎ−１）＝（ｙn-1−ｙn）／ｎ
２（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）
３（ｙ1−ｙ2）＝２（ｙ2−ｙ3）
４（ｙ2−ｙ3）＝３（ｙ3−ｙ4）
・・・・・・・・・・・・・・・
（ｎ−１）（ｙn-3−ｙn-2）＝（ｎ−２）（ｙn-2−ｙn-1）
ｎ（ｙn-2−ｙn-1）＝（ｎ−１）（ｙn-1−ｙn）
第ｘ行まで足しあわせて整理すると
２（ｙ0−ｙn-1）＝（ｎ−１）（ｙn-1−ｙn）→ｙn-1＝（２ｙ0＋（ｎ−１）ｙn）／（ｎ＋１）
２（ｙ0−ｙn-2）＝（ｎ−２）（ｙn-2−ｙn-1）→ｙn-2＝（２ｙ0＋（ｎ−２）ｙn-1）／ｎ
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２（ｙ0−ｙ2）＝２（ｙ2−ｙ3）→ｙ2＝（２ｙ0＋２ｙ3）／４
２（ｙ0−ｙ1）＝（ｙ1−ｙ2）→ｙ1＝（２ｙ0＋ｙ2）／３
具体的には
ｙn-1＝２／（ｎ＋１）
ｙn-2＝（２＋２（ｎ−２）／（ｎ＋１））／ｎ＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）
ｙn-3＝２（１＋（ｎ−３）（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１））／（ｎ−１）＝２（２ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）＝６（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）
となるが，
ｙj＝（２＋ｊｙj+1）／（ｊ＋２）
のままにしておく．ともあれ，これで置換多面体の体積計算の基点だけは求まったことになる．
［２］中心から各面までの距離
Ｐn（ａ1，・・・，ａn）
ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））
と切頂切稜面の距離を求める．
２次元正単体の場合，
Ｐ2（１／２，√（１／１２））＝（ａ1，ａ2）
Ｐ1（１／２，０）
Ｐ0（０，０）
３次元正単体の場合，
Ｐ3（１／２，√（１／１２），√（１／２４））＝（ａ1，ａ2，ａ3）
Ｐ2（１／２，√（１／１２），０）
Ｐ1（１／２，０，０）
Ｐ0（０，０，０）
切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点
Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）
を通る．
ＰnＰ0＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）
ＰnＰ1＝（０，−ａ2，−ａ3，・・・，−ａn）
ＰnＰn-1＝（０，・・・，０，−ａn）
ファセットを定めている不等式は，
ａ・ｘ＝ｃ
で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は
｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖
とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので
ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）
ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，−ａ2，・・・，−ａn）
ｃ1＝−（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ1＝−（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，・・・，０，−ａn）
ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａn^2）^1/2
‖ａk‖^2＝１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）＋・・・＋１／２ｎ（ｎ＋１）＝１／２（１／（ｋ＋１）−１／（ｎ＋１））＝（ｎ−ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）
辺の長さを１に規格化する．
Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜
原正多胞体の面数公式を
Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1
とすると，置換多面体の体積公式は
Ｖn＝（Ｎ0Ｖn-1Ｈ0＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ
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【２】正軸体版の場合
［１］切頂・切稜点
ｎ次元正軸体の頂点の座標は
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，
ｐ0（１，０，・・・，０）
ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）
ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
ｐn（０，０，・・・，０）
３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ
→ ｙ＝ｚ＋√２ｚ
ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，
３ｚ＋３√２ｚ＝１ → ｚ＝１／（３＋３√２）
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．
４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ
→ ｚ＝ｗ＋√２ｗ
ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ
ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，
４ｗ＋６√２ｗ＝１ → ｗ＝１／（４＋６√２）
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ
一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として
→ ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）
ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ω＝ω
となることが理解される．
［２］中心から各面までの距離
切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点
Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn），ｘ1＝ｘ，ｘ2＝ｙ，・・・，ｘn＝ω
を通る．
ＰnＰ0＝（１，０，・・・，０）
ＰnＰ1＝（１／２，１／２，０，・・・，０）
ＰnＰn-1＝（１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）
ファセットを定めている不等式は，
ａ・ｘ＝ｃ
で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は
｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖
とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るので，
ａ＝（１，０，・・・，０）
ｑ＝（ｘ1，ｘ2，ｘ3，・・・，ｘn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝ｘ1
ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（１^2）^1/2
ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では，辺心は
ａ＝（１／２，１／２，０，・・・，０）
ｃ1＝（ｘ1＋ｘ2）／２
ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（（１／２）^2＋（１／２）^2）^1/2＝１／√２
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では，胞心は
ａ＝（１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）
ここには切頂・切稜は施されないので，胞心面までの距離は１／√ｎであるが，同様に
ｃn-1＝（ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn）／ｎ＝１／ｎ
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（（１／ｎ）^2＋・・・＋（１／ｎ）^2）^1/2＝１／√ｎ
‖ａk‖^2＝１／√ｋ
辺の長さを１に規格化する．
Ｈk＝ｈk／２ω＝ｈk／（２ｎ＋ｎ（ｎ−１）√２）
原正多胞体の面数公式を
Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1
とすると，正軸体版の体積公式は
Λn＝（Ｎ0Λn-1Ｈ0＋Ｎ1Λn-2Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ
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