辺（ｐ，ｑ，ｒ）が１点において直交する四面体において，３つの面の面積をａ，ｂ，ｃ，斜面の面積をｄとすると

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2

というのが，ファウルハーバーの定理の適用できる直角三角錐（trirectangular tetrahedron：ＴＴ）ですが，ここで扱いたい直角三角錐は辺（ｐ，ｑ），（ｑ，ｒ）が直交し，ｐｑ平面と辺ｒも互いに直交するが，（ｐ，ｒ）は同一平面上になくねじれの位置にあるというもの（quadrirectangular tetrahedron：ＱＴ）です．

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　辺の長さは

ＴＴ：ｐ，ｑ，ｒ，√（ｐ^2＋ｑ^2），√（ｑ^2＋ｒ^2），√（ｒ^2＋ｐ^2）

ＱＴ：ｐ，ｑ，ｒ，√（ｐ^2＋ｑ^2），√（ｑ^2＋ｒ^2），√（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2）ですから，辺長の総和も２乗和もＱＴのほうが大きいのですが，両者の体積は等しく

　　ｐｑｒ／６

です．

　表面積については，斜面の面積を

　　Ｓ＝｛（ｐｑ／２）^2＋（ｑｒ／２）^2＋（ｒｐ／２）^2｝^1/2

とおくと，

ＴＴ：（ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ）／２＋Ｓ

ＱＴ：（ｐｑ＋ｑｒ＋ｐ√（ｑ^2＋ｒ^2）＋ｒ√（ｐ^2＋ｑ^2））／２

ですが，表面積の２乗和は等しくなります．

ＴＴ：２Ｓ^2

ＱＴ：（ｐｑ／２）^2＋（ｑｒ／２）^2＋（ｐ√（ｑ^2＋ｒ^2）／２）^2＋（ｒ√（ｐ^2＋ｑ^2）／２）^2

＝（ｐｑ／２）^2＋（ｑｒ／２）^2＋（√（ｐ^2ｑ^2＋ｒ^2ｐ^2）／２）^2＋（√（ｒ^2ｐ^2＋ｑ^2ｒ^2）／２）^2

＝２｛（ｐｑ／２）^2＋（ｑｒ／２）^2＋（ｒｐ／２）^2｝＝２Ｓ^2

　すなわち，ＴＴとＱＴは体積と表面積の２乗和が等しい類似物ということになります．

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