直角三角形では斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．

　ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

が形も簡単で広く用いられています．

　各辺と空間対角線が自然数になる直方体ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2は恒等式

ａ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2−ｎ^2）／ｎ，ｂ＝２ｋｌ，ｃ＝２ｋｍ，ｄ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2＋ｎ^2）／ｎ

で与えられます．ただし，ｎはｌ^2＋ｍ^2の約数でｎ＜√（ｌ^2＋ｍ^2）でなければなりません．一つの文字だけの恒等式

　　ｎ^2（ｎ＋１）^2＋ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝（ｎ^2＋ｎ＋１）^2

によっても無数に解が求まります．

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【１】整数のレンガ問題

　その次に問題になるのは，すべての辺と空間対角線と各面の対角線が自然数で表されるような直方体が存在するかどうかということです．このレンガには７つの未知数があります．

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｄ^2

　　ａ^2＋ｃ^2＝ｅ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｆ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｇ^2

　空間対角線だけが整数でない最小のレンガはオイラーによって辺が４４，１１７，２４０のものであることが示されています．

　ａ＝２４０，ｂ＝４４，ｃ＝１１７，ｄ＝２４４，ｅ＝２６７，ｆ＝１２５，

　ｇ＝２７０．６０１１８

［注］１７１９年にドイツ人会計士ハルケが見つけたといわれている．

　最近まで，当該の「整数のレンガ」問題には解があるともわかっていませんでしたし，問題を解くこと自体が不可能だとも証明されていませんでした．すなわと，この問題は最近まで未解決のディオファントス問題のうち，最も難しく悪名の高いものになっていましたが，１９７２年，スポーンが空間対角線も整数になるものいは存在しないことを証明しました．さらに，２０００年，ルーティは頂点間の距離がどれも整数になるような直方体は存在しないことを証明しました．数百年解かれず残っていた問題をやっと証明したのです．

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【２】シェルピンスキーの問題

　１９６２年，シェルピンスキーはすべて三角数であるピタゴラスの３つ組，

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　　ａ＝ｐ（ｐ＋１）／２，ｂ＝ｑ（ｑ＋１）／２，ｃ＝ｒ（ｒ＋１）／２

は無限個存在するかという問題を提示しました．

　ａ＝８７７８，ｂ＝１０２９６，ｃ＝１３５３０

以外にはそのような３つ組の存在は知られていません．

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【３】ｘ^3＋ｙ^3＝ｄｚ^3の解

　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3の整数解は存在しないが，ｄを１以外の自然数として，ｘ^3＋ｙ^3＝ｄｚ^3の解についてはどうだろうか？

　特定のｄ，たとえば，ｄ＝１３，１６に対しては無限個の解があるが，ｄ＝３に対しては有限個の解しか存在しない．

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【４】フェルマー・カタラン予想

　　ａ^m＋ｂ^n＝ｃ^k

　　ａ，ｂ，ｃは互いに素，１／ｍ＋１／ｎ＋１／ｋ＜１

の解か存在しない．・・・この予想はまだ証明されていないが，これまでに２^5＋７^2＝３^4など１０個の解が見つかっている．

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【５】テイデマン予想

　　ａ^m＋ｄ＝ｂ^n

には有限個の解しかない．この予想もまだ証明されていない．

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【６】ａｂｃ予想

　　ａ＋ｂ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃは互いに素

　　ａ，ｂ，ｃをそれぞれ割り切る素数の積をｒとする．

　　ｃ＞ｒ^2ならば解は有限個しかない．

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