実際の計算に移る前に，これまでの流れを点検し訂正や一部修正を行ってきた．今回のコラムでは，ｎ＝３の置換多面体の体積が正しく算出できるかを調べてみたい．以前に行った計算で，８枚の六角形面までの距離がｈ0とｈ2とで異なっていたからである．困ったものである．

　１次元置換多面体は線分，２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．辺の長さを１に規格化すると

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２，Ｖ3＝８√２

　ｎ次元正単体を構成するのに，全体を１次元上げるのではなく，ｎ次元空間内の座標系でこれらを求めてみよう．

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【１】中心から各面までの距離

　切頂切稜面と中心座標

　　Ｐn（ａ1，・・・，ａn）

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

の距離を求める．

　２次元正単体の場合，

　　Ｐ2（１／２，√（１／１２））＝（ａ1，ａ2）

　　Ｐ1（１／２，０）

　　Ｐ0（０，０）

３次元正単体の場合，

　　Ｐ3（１／２，√（１／１２），√（１／２４））＝（ａ1，ａ2，ａ3）

　　Ｐ2（１／２，√（１／１２），０）

　　Ｐ1（１／２，０，０）

　　Ｐ0（０，０，０）

　切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）

を通る．

ＰnＰ0＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

ＰnＰ1＝（０，−ａ2，−ａ3，・・・，−ａn）

ＰnＰn-1＝（０，・・・，０，−ａn）

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｃ1＝−（ａ2ｘ2＋・・・＋ｘnａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ1＝−（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，・・・，０，−ａn）

　　ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（ａn^2）^1/2

　　‖ａk‖^2＝１／２（ｋ＋１）（ｋ＋２）＋・・・＋１／２ｎ（ｎ＋１）＝１／２（１／（ｋ＋１）−１／（ｎ＋１））＝（ｎ−ｋ）／２（ｋ＋１）（ｎ＋１）

　これでｈk＝ｈn-k+1にはなるかどうかはわからないが，３次元正単体の場合，

　　ｙ1＝ｘ1／ａ1＝５／６，ｙ2＝ｘ2／ａ2＝１／２，ｙ3＝ｘ3／ａ3＝０

　　ａ1^2＝１／４，ａ2^2＝１／１２，ａ3^2＝１／２４

より，

　　ｈ0＝１／√２４

　　ｈ1＝２／√３√２４

　　ｈ2＝１／√２４

となって，ｈ0＝ｈ2が確かめられる．また，

　　ｈ0／ｈ1＝√３／２

となって，切頂八面体の計量と一致する．

　辺の長さを１に規格化すると

　　Ｈk＝ｈk／２｜ａ1−ｘ1｜＝ｈk／２ａ1｜１−ｙ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

　　Ｈ0＝６／√２４

　　Ｈ1＝１２／√３√２４

　　Ｈ2＝６／√２４

　漸化式で，８枚の正六角形と６枚の正方形からなる切頂八面体の体積を求めると

　　Ｖ3＝（４Ｖ2Ｈ0＋６Ｖ1Ｈ1＋４Ｖ2Ｈ2）／３＝８√２

となって正しい解が得られた．

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【２】まとめ

　原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

また，規格化した後のｋ次元面までの距離をＨkとする．

　置換多面体の体積公式は

　　Ｖn＝Ｎ0Ｖn-1Ｈ0／ｎ＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈn-1／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈn-2／ｎ

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