面数や体積の計算が可能と思われる高次元準正多面体には

［１］２^n＋２ｎ面体

［２］２（２^n−１）面体（置換多面体）

［３］３^n−１面体

がある．

　［１］［２］は空間充填多面体であるが，［３］は空間充填多面体ではない．しかし，単独では空間充填できなくても何種類かを組み合わせることによって空間充填可能となる．

　２次元３^n−１面体は正八角形であるが，正方形と組み合わせることによって空間充填可能となる．正方形は２次元の［１］と考えることも１次元の［２］角柱と考えることも１次元の［３］角柱と考えることもできる．

　３次元３^n−１面体は大菱形立方八面体であるが，正八角柱と組み合わせることによって空間充填可能となる．正八角柱は２次元の［３］角柱である．

　大菱形立方八面体は切頂八面体＋立方体と組み合わせても空間充填可能である．切頂八面体は，すべての次元を通じて唯一［１］かつ［２］という性質をもつ多面体であって，例外中の例外として注目すべきものである．立方体は２次元の［１］角柱と考えることも１次元の［２］角柱柱あるいは１次元の［３］角柱柱と考えることができる．

　また，大菱形立方八面体は切頂四面体＋切頂立方体と組み合わせても空間充填可能であるが，これには注目しないでおく．

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　以上のことから，４次元３^n−１面体を含む空間充填について類推してみると，

［１］４次元３^n−１面体と３次元の［３］角柱との組み合わせ

［２］４次元３^n−１面体と４次元の［１］と立方体柱の組み合わせ

［２］４次元３^n−１面体と４次元の［２］と立方体柱の組み合わせ

などが考えられるが，［１］が正しければ最も簡単に体積を求めることができる．

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