ｘ0＝１／（−２−４−６）＝−１／１２

　　ｙ0＝｛ａ2／ａ1−（１＋（ａ2／ａ1）^2）^1/2｝ｘ0＝｛√（１／３）−√（４／３）｝ｘ0＝１／１２√３

　　ｚ0＝−√（１／２４）

でなく，

　　ｙ0＝｛−ａ2／ａ1−（１＋（ａ2／ａ1）^2）^1/2｝ｘ0＝｛−√（１／３）−√（４／３）｝ｘ0＝√３／１２

であれば，は切頂面

　　ａ1（ｘ−ｘ0）＋ａ2（ｙ−ｙ0）＋ａ3（ｚ−ｚ0）＝０

が点Ｐ1を通ることになり，辻褄はあうが・・・

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【１】座標変換

　一般に

　　｜ｘ0｜＝｜ａ2ｘ0−ａ1ｙ0｜／（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2

に対しては，

　　（ａ1^2＋ａ2^2）ｘ0^2＝（ａ2ｘ0−ａ1ｙ0）^2

とするのが安全であるが，２次方程式となってしまうのが欠点である．

　そこで，点Ｐ0が原点となるように座標変換してみる．２次元正単体の場合，

　　Ｐ2（０，０）

　　Ｐ1（０，−√（１／１２））

　　Ｐ0（−１／２，−√（１／１２））＝（ａ1，ａ2）

は

　　Ｐ2（１／２，√（１／１２））＝（ａ1，ａ2）

　　Ｐ1（１／２，０）

　　Ｐ0（０，０）

　ｘ軸上の点Ｑ（ｘ0，０）から，

　　ｘ＝ａ1平面

　　ａ2ｘ−ａ1ｙ＝０平面

までの距離が等しいことより，

　　ａ1−ｘ0＝ａ2ｘ0／（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2

　　（ａ2＋（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2）ｘ0＝ａ1（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2

　　ａ1^2ｘ0＝ａ1（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2（−ａ2＋（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2）

　　ｘ0＝−ａ2（１＋（ａ2／ａ1）^2）^1/2＋ａ1（１＋（ａ2／ａ1）^2）＝１／３

辺の長さを１に規格化しているので，正六角形になる（この結果は正しい）．

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　３次元正単体の場合，

　　Ｐ3（０，０，０）

　　Ｐ2（０，０，−√（１／２４））

　　Ｐ1（０，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　Ｐ0（−１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））＝（ａ1，ａ2，ａ3）

は

　　Ｐ3（１／２，√（１／１２），√（１／２４））＝（ａ1，ａ2，ａ3）

　　Ｐ2（１／２，√（１／１２），０）

　　Ｐ1（１／２，０，０）

　　Ｐ0（０，０，０）

　点Ｑ（ｘ0，ｙ0，０）から，

　　ｘ＝ａ1平面

　　ａ2ｘ−ａ1ｙ＝０平面

　　ａ3ｙ−ａ2ｚ＝０平面

までの距離が等しいことより，

　　ａ1−ｘ0＝（ａ2ｘ0−ａ1ｙ0）／（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2＝ａ3ｙ0／（ａ2^2＋ａ3^2）^1/2

　　（１−ｘ0／ａ1）／（１／ａ1）＝（ｘ0／ａ1−ｙ0／ａ2）／（１／ａ1^2＋１／ａ2^2）^1/2＝ｙ0／ａ2／（１／ａ2^2＋１／ａ3^2）^1/2

　　（１−ｘ0／ａ1）／２＝（ｘ0／ａ1−ｙ0／ａ2）／４＝ｙ0／ａ2／６

　　ｙ0／ａ2＝３ｘ0／ａ1−２

　　５ｙ0／ａ2＝３ｘ0／ａ1

より

　　ｘ0／ａ1＝５／６，ｙ0／ａ2＝１／２

この結果は切頂面

　　ａ1（ｘ−ｘ0）＋ａ2（ｙ−ｙ0）＋ａ3（ｚ−ｚ0）＝０

が点Ｐ1を通るとするコラム「ボロノイ細胞と平行多面体（その４）」と合致．

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【２】まとめ

　ｎ次元正ｎ＋１胞体の頂点はｎ＋１個あるが，その座標は再帰的に求めることができる．あとはこの手続きを一般化すれば芋づる式に頂点の座標を計算することができるだろう．

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