正単体の切頂・切稜によって置換多面体を構成するには，点から各平面への距離を等しくとることが必要である．

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【１】点から平面への距離

　たとえば，３次元正単体のｋ境界要素の中心座標は，

　　Ｐ3（０，０，０）

　　Ｐ2（０，０，−√（１／２４））

　　Ｐ1（０，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　Ｐ0（−１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））＝（ａ1，ａ2，ａａ3）

であるから，切頂面は

　　ａ1ｘ＋ａ2ｙ＋ａ3ｚ＝ｃ1

切稜面は

　　ａ2ｙ＋ａ3ｚ＝ｃ2

与えられる．（ａ1＜ａ2＜ａ3）

　これらはｚ＝ａ3上の点Ｑ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）を通るとすると

　　ｚ0＝ａ3，ａ1＜ｘ0＜０，ａ2＜ｙ0＜０

　　ａ1（ｘ−ｘ0）＋ａ2（ｙ−ｙ0）＋ａ3（ｚ−ｚ0）＝０

　　ａ2（ｙ−ｙ0）＋ａ3（ｚ−ｚ0）＝０

より，

　　ｃ1＝ａ1ｘ0＋ａ2ｙ0＋ａ3ｚ0

　　ｃ2＝ａ2ｙ0＋ａ3ｚ0

　また，点Ｑから

　　ｘ＝０平面

　　ａ2ｘ−ａ1ｙ＝０平面

　　ａ3ｙ−ａ2ｚ＝０平面

までの距離が等しいことより，

　　｜ｘ0｜＝｜ａ2ｘ0−ａ1ｙ0｜／（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2＝｜ａ3ｙ0−ａ2ｚ0｜／（ａ2^2＋ａ3^2）^1/2

　　ａ1ｙ0＝ａ2ｘ0−（ａ1^2＋ａ2^2）^1/2ｘ0

　　ａ2ｚ0＝ａ3ｙ0−（ａ2^2＋ａ3^2）^1/2ｘ0＝ｆ（ｘ0）

　ｚ0は既知であるから，計算を厭わなければ（ｘ0，ｙ0，ｚ0）は求められる（はずである）．

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