ｎ次元正単体を構成するのに，全体を１次元上げたことが影響しているのだろうか？　しばらくの間，このシリーズを中断していたので，まずはおさらいから始めたい．

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【１】正単体の体積

　三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．

　正単体の体積を求めるにあたって問題となるのは，その高さである．高さを求めるために，ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とする．稜の長さが√２の正単体であるから，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

とすることができる．

　これらの座標が与えられたとき，底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

であるから，頂点

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

との距離（高さ）Ｈnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられることになる．

　したがって，漸化式

　　Ｖn＝Ｖn-1×Ｈn／ｎ

より，

　　Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！

を得ることができる．

　Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝１／３，・・・

となるが，Ｖ2，Ｖ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるであろう．

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【２】規格化

　辺の長さを１に規格化すると，高さは

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）／√２

で与えられる．（ｎ＋１）次元の場合，新しく加わった軸上の正の側に１辺の長さが１となるように新しい頂点を取り，中心が原点にくるように全体を平行移動させる．

　　Ｈn・ｎ／（ｎ＋１）＝√（ｎ／２（ｎ＋１））

　　−Ｈn・１／（ｎ＋１）＝−√（１／２ｎ（ｎ＋１））

より，具体的な座標値は

　　（−１／２，　−√（１／１２），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（＋１／２，　−√（１／１２），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，√（１／３），−√（１／２４），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，０，√（３／８），−√（１／４０），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　（０，０，０，√（２／５），・・・，−√（１／２ｎ（ｎ＋１）））

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，０，０，・・・，＋√（ｎ／２（ｎ＋１）））

となる．

　たとえば，２次元正単体の３頂点は

　　（−１／２，−√（１／１２））

　　（＋１／２，−√（１／１２））

　　（０，√（１／３））

３次元正単体の４頂点は

　　（−１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　（＋１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　（０，√（１／３），−√（１／２４））

　　（０，０，√（３／８））

　また，ｋ境界要素の中心座標は，選び出したｋ＋１個の頂点の重心に等しく，たとえば，３次元正単体では

　　Ｐ3（０，０，０）

　　Ｐ2（０，０，−√（１／２４））

　　Ｐ1（０，−√（１／１２），−√（１／２４））

　　Ｐ0（−１／２，−√（１／１２），−√（１／２４））

になる．

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