数直線上に０＜ｘ≦ｙなる点ｘ，点ｙをとり，［ｘ，ｙ］を直径とする円を描く．その円の中心が（ｘ＋ｙ）／２，すなわち，算術平均である．

　次に，０を極とする円の接線を描くと，接線の長さは√ｘｙすなわち幾何平均，接点から数直線に下ろした垂線の足は２ｘｙ／（ｘ＋ｙ）すなわち調和平均となる．

　また，０から数直線に垂直な円の直径の端点までの距離が

　　√（ｘ^2＋ｙ^2）／２　　　　（ユークリッド平均）

である．

　一目見て

　　ｘ＜２ｘｙ／（ｘ＋ｙ）＜√ｘｙ＜（ｘ＋ｙ）／２＜√（ｘ^2＋ｙ^2）／２＜ｙ

であることがわかる．

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【１】デカルトのメソラボスコンパス

　各種平均の幾何学的構成を示したが，頂角θのタケノコ図において，数直線から他方の数直線に垂線を下ろす．その垂線の足からもとの数直線に垂線を下ろす．交互にこの操作を繰り返す．

　２本の数直線は０を中心に開閉できるものとすると，２本の数直線が広がるとき，各垂線の足はそれぞれ

　　円　　　　：ｘ^2＋ｙ^2＝ａ^2

　　４次曲線　：ｘ^4＝ａ^2（ｘ^2＋ｙ^2）

　　８次曲線　：ｘ^8＝ａ^2（ｘ^2＋ｙ^2）^3

　　１２次曲線：ｘ^12＝ａ^2（ｘ^2＋ｙ^2）^5

　　４ｎ次曲線：ｘ^4n＝ａ^2（ｘ^2＋ｙ^2）^2n-1

を描く．

　この作図器はデカルト自身によって「メソラボスコンパス」と呼ばれた．その語源は幾何平均（比例中項）をとるという意味であるが，メソラボスコンパスは比例中項をとると同時に，高次曲線の作図器でもある．

　また，この作図器は転調が自由な平均律音階に必要な２の１２乗根を求める方法として応用された．０から垂線の足までの距離は

　　１＝ｘ^0，ｘ，ｘ^2，・・・，ｘ^11，ｘ^2＝２

となるので，ｘ^12＝２すればｘ＝２^1/12を得ることができる．

　ともあれ，タケノコ図にはデカルトのメソラボスコンパスというれっきとした名前がついていて，数学なしに音楽は成り立たなかったのである．

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