【１】伸開線と縮閉線

　曲線Ｌのまわりに巻かれた糸があり，この糸をぴんと張ったままほどくと糸の自由端によって曲線Ｍが描かれるとします．ＭをＬの伸開線（インボリュート），ＬをＭの縮閉線（エボリュート）と呼びます．

　円の伸開線，すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

と表され，歯車の歯形として工学に応用されています．

　また，放物線：ｙ＝ｘ^2の縮閉線はｙ＝１／２＋３（ｘ／４）^2/3 です．逆に，半立方放物線：ｙ^2＝ａｘ^3の伸開線は放物線になります．

　サイクロイド：ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）の縮閉線は

　　ｘ＝ａ（θ＋ｓｉｎθ），ｙ＝−ａ（１−ｃｏｓθ）

です．ここで，θ＝π＋ｔとおけば

ｘ＝ａ（ｔ−ｓｉｎｔ）＋ａπ，ｙ＝ａ（１−ｃｏｓｔ）−２ａ

ですから，もとのサイクロイドと合同なサイクロイドになることが示されます．

　カテナリー（懸垂線）の伸開線はトラクトリックス（追跡線）と呼ばれています．

　　ｘ＝ａ（ｌｏｇｔａｎ（θ／２）＋ｃｏｓθ），ｙ＝ａｓｉｎθ

　追跡線上の点と，その点での接線がｘ軸と交わる点との距離ａは常に一定です．この性質が追跡線というこの曲線の名前の由来で，ある長さのひもの先に石を結びつけて引っ張りながらｘ軸上を歩くと，石の通る軌跡が追跡線になります．追跡線をｘ軸（漸近線）のまわりに回転すると，曲率が負で一定の曲面（擬球面）ができます．定数ａをその擬半径といいます．驚いたことに，この曲面上の幾何学はユークリッド幾何学の平行線の公理を「直線外の１点を通り，その直線に平行な直線は無数に存在する」によって取り替えて導かれる双曲的非ユークリッド幾何学と同じになります．双曲的非ユークリッド幾何学はボヤイとロバチェフスキーがそれぞれ独立に，しかもも同じ時期に発見したものです．

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【２】インボリュート

　歯車の形となる曲線はサイクロイド（エピサイクロイドとハイポサイクロイド）とインボリュートである．インボリュートは円に巻き付けた糸をほどいていくとき糸上の点が描く曲線である．

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

　インボリュートはスクロール方式のエアコンコンプレッサーにも使われていて，振動や騒音が少ないという特長をもっている．

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【３】様々な螺線

　アルキメデスらせんｒ＝ａθは幅が一定の螺線で，それを用いた角の３等分の方法が知られている．アルキメデスらせんに対して，対数らせん（ベルヌーイらせん）は

　　ｒ＝ａ^θ

で表される曲線である．幅は中心から離れるほどが拡大する．

　昆虫には太陽光線に対して一定の角度を維持しながら飛ぶという習性があり，（太陽光線は平行光線とみなせるので日中は問題ないが）夏の夜，街灯や集蛾灯の回りをぐるぐる飛び回る虫の飛跡は対数らせんとなる．

　対数らせんには動径をいつも一定の角度で横切るという特徴があり，等角らせんとも呼ばれている．

　また，フェルマーらせん

　　ｒ^2＝ａθ

の幅は中心から離れるほどが小さくなる．フェルマーらせんは形式的には放物線ｙ^2＝ａｘと似ていることから放物らせんとも呼ばれる．

　代数らせん

　　ｒ＝ａθ^k

において，ｋ＝１の場合がアルキメデスらせん，ｋ＝１／２の場合がフェルマーらせん，ｋ＝−１の場合が双曲らせん，ｋ＝−１／２の場合がラッパ線（リチウス）である．

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