【１】シュタイナーの定理

　小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．（１周して鎖がうまく閉じないときでも．何周か回った後に閉じることもある．）

　円鎖の性質

［１］鎖を構成する円の中心はすべてひとつの楕円上にある．

［２］円鎖をなしている円のうち，隣接する円の共通接線はすべて１点で交わる．

［３］円鎖をなしている円のそれぞれに関して，最初の２円と接する２点を結んで得られる直線はすべて１点で交わる．

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【２】ポンスレーの定理

　小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．（１周して鎖がうまく閉じないときでも．何周か回った後に閉じることもある．）

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【３】２つの定理

　２つの定理に共通する特徴は

［１］２つの円が同心円ならば自明であるということである．

［２］最初の２円を与えたとき，解がないかあるいは無限に解があるか，どちらかである．

　一方，相違点はシュタイナーの定理はメビウス変換により同心円の場合に帰着させて証明できるが，ポンスレーの定理ではそれができない．

　ポンスレーの定理の場合，直線を直線に移す円板の変換が必要になるが，それは

　　ｘ’＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

　　ｙ’＝（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）／（ｕｘ＋ｖｙ＋ｗ）

という形の（実）変換である．また，ポンスレーの定理は２つの円を２つの楕円の置き換えても成立する．

　ポンスレーの定理においてｎ＝３の場合，一方の円（半径Ｒ）に内接し，もう一方の円（半径ｒ）に外接する三角形は無数にある．これが成り立つための条件は２つの円の中心間距離をｄとして，

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2

となることである（オイラーの定理）．

　四角形やそれ以上のｎ角形についても同様の定理が成り立ち，ひとつの円に内接し，他の円に外接する四（ｎ）角形は無数にある．オイラーの定理のｎ角形版として，フースの定理が知られている．たとえば，内接円と外接円の両方をもつ四角形（双心四角形）では，

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

が成り立つ．フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけている．

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