オイラー・フースの定理を拡張する方向としては、ひとつには双心ｎ角形のｎを大きくすること，もうひとつには凸ｎ角形の星形化を考えることである．今回のコラムでは，星形正ｎ角形の場合を扱ってみる．

　ｎ／ｍ角形において，

　　Ｒ／ｒ＝ｓｅｃ（ｍπ／ｎ）

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【１】星形多角形への拡張

［１］星形５／２角形

［２］星形７／２角形

［３］星形７／３角形

［４］星形８／３角形

［５］星形９／２角形

［６］星形９／４角形

［７］星形１０／３角形

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【２】雑感

　ここで扱ったのは同心円の場合であるが，非同心円の場合の星形ｎ角形ではどうなるのだろうか？

　小円を大円の内部におく．大円上の点Ｐ0から小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ1とする．Ｐ1から再び小円へ接線を引き，大円と交わる点をＰ2とする．この２つの円の中間に次々に接する接線列を作る．たいていの場合，最後の交点は最初の点Ｐ0と重ならない．しかしときとして完全に重なる場合がある．このとき，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなす．

　ポンスレーの定理では楕円積分に帰着させる微分積分学的な証明が知られている．ベルトラン・ヤコビの証明である．この証明は周期２πは初期位置に依存しないというものであって，ｍ回転後に初期位置に戻ってくるのであれば，周期２ｍπの楕円積分に置き換えればよい．すなわち，ポンスレーの定理は星形ｎ／ｍ角形に対しても成り立つと思われる．

　次回のコラムでは実際にそのことを確かめてみるが，微分積分学の幾何学へのひとつの注目すべき応用であろう．

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