【１】ベクトルの積の大きさ＝ベクトルの大きさの積
（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｂ＋ｃｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2
＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2
はラグランジュの恒等式（あるいはフィボナッチの等式）と呼ばれるもので，一般に
（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝1/2Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2 あるいは(i<j)として
（Σａi^2）（Σｂi^2）−（Σａiｂi）^2＝Σ（ａiｂj−ａjｂi）^2
と書ける．
コーシー・シュワルツの不等式
（Σａi^2）（Σｂi^2）≧（Σａiｂi）^2
はラグランジュの恒等式から自明であろう．この有名な不等式は角の余弦値は１以下であることの幾何学的表現と解釈することができる．
ラグランジュの恒等式は，複素数を使って
ｚ1＝ａ＋ｂｉ，ｚ2＝ｃ＋ｄｉ
ｚ1ｚ2＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ
｜ｚ1ｚ2｜＝｜ｚ1｜｜ｚ2｜
と表すことで証明できる．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示している．
ついでに言うと，三角不等式
｜ｚ1＋ｚ2｜≦｜ｚ1｜＋｜ｚ2｜
は
（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）−（ａｃ＋ｂｄ）^2≧（ａｄ−ｂｃ）^2≧０
と表すことで証明できる．
また，４平方和問題
（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2
は
ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，
ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，
ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，
ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ
とおくと成り立ち，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示している．
しかし，３平方和問題
（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）＝ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2
は２平方和，４平方和の場合のようなわけにはいかない．３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからである．
｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜
すなわち
（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）
の恒等式はｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されている（１８９８年）．
したがって，ある条件のもとで，数の体系は八元数までですべてであることが知られていて，数の系列は実数（一元数）→複素数（二元数：ガウス）→四元数（ハミルトン）→八元数（ケイリー）というようになっているのである．
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【２】四元数と八元数
四元数は１８４３年ハミルトンにより，八元数は１８４５年ケイリーによって発明されました．四元数では乗法の交換法則は成り立ちません（ａｂ≠ｂａ）．また，八元数では乗法の結合法則も破れています（ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ）．
複素数では加法，減法，乗法と０を除く除法が定義され，かつ，交換，結合，分配法則が適用できる数の集合＝体と呼ばれる代数的構造をなしています．実数は体を構成しますが，有理数は最小の体を，複素数は最大の体を構成します．したがって，複素数以上に数の世界を広げようとすると，われわれがなじんでいる交換法則などのどれかが壊れてしまいます．超複素数の世界ではある規則が犠牲にされなければなりませんが，ある規則を犠牲にする段になると，最も苦痛の少ないのは乗法の交換法則，結合法則だったのです．
積の交換法則が成り立たない代数として「行列」があります．したがって，ハミルトンの４元数は行列の一部だと考えることができます．実際，
ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ → ［ ａ＋ｂｉ ｃ＋ｄｉ］
［−ｃ＋ｄｉ ａ−ｂｉ］
のように，４元数と２×２行列を対応させると，４元数の演算はそのまま行列の演算に移行します．さらに，ｃ＝ｄ＝０の場合を考えると，複素数も行列とみなせるというわけです．
８元数では，積の交換法則も結合法則も成り立ちませんが，それでも分配法則は成り立っています．行列は結合法則を満たすので，８元数は行列の一部とはみなせないのです．なお，結合法則が成り立たない数の体系（非結合的な体）としては，８元数，リー代数，ジョルダン代数の３つが代表的です．
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【３】複素整数
［１］ガウスの整数
ａ，ｂを整数として
ａ＋ｂｉ
で表される複素数が「ガウスの整数」です．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」．
また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，１の４乗根である
±１，±ｉ
の４個の単数があります．ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします．
素数は複素数体でも定義されますが，ガウス素数とはそのノルムが通常の素数であるようなガウス整数のことです．数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．
４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．
２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2
５＝（１＋２ｉ）（１−２ｉ）
２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）
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［２］アイゼンスタインの整数
アイゼンスタインの整数は
ａ＋ｂω
と書くことができます．ここで，ωは１の虚立方根
ω＝（−１＋√−３）／２
で，ｘ^2＋ｘ＋１＝０の根です．それに対して，ガウス整数にはｘ^2＋１＝０が対応しています．
アイゼンスタインの整数には，６つの単数
±１，±ω，±ω^2
があり，正六角形の対称性をもつ三角格子をなします．
ここにもやはり素因数分解の一意性が成立します．２および６ｋ＋５型素数はアイゼンスタイン素数ですが，３および６ｋ＋１型素数はアイゼンスタイン素数の積に分解されます．
３＝（１−ω）（１−ω^2）＝（１＋ω）（１−ω）^2＝（１−ω）（２＋ω）
３７＝（４−３ω）（４−３ω^2）＝（４−３ω）（７＋３ω）
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［３］ベイカー・スタークの定理
ガウスの数体Ｑ（ｉ），アイゼンスタインの数体Ｑ（ω）の場合を考えましたが，それに対して，Ｑ（√−５）では
６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）
のように，素数の積に２通りに表されるような状況を生じてしまうのです．（２，３は素数であるし，１＋√−５，１−√−５はいずれも
ａ＋ｂ√−５
のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」である．）
それでは，どういう負の数−ｄを使った数体系Ｑ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのでしょうか？
この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）
−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３
に限られるというものです．このコラムをご覧の読者であれば，最初の２つ以外では半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があることはおわかりでしょう（＝１（ｍｏｄ４））．
現在，９個の数はヘーグナー数と呼ばれています．ずいぶん以前からこの９個の数は知られていたのですが，１０番目の数が存在するかもしれない・・・というまどろっこしい状態が続いていました．その経緯について触れておきたいのですが，１９３２年，ハイルブロンとリンフットが１０番目のｄがあるとすれば，それは１０^11よりも大きくなることを示しました．また，１９５２年，ヘーグナーが９個ですべてだという証明を発表しましたが，彼は高校の教師であり研究者として部外者であったため，この証明は懐疑的というよりは間違ったものと受け取られていたようです．
そして，１９６６年，アメリカのスタークとイギリスのベイカーが独立に世界中を納得させる証明を与えました．それは不正確であるとして無視されたヘーグナーの証明の誤りを払拭するものでもありましたが，残念ながら，ヘーグナーは１９６５年に亡くなっており，自らの名誉回復をその目で見ることはできませんでした．また，１９６８年，ドイリングはヘーグナーの証明を修正することに成功しましたが，既にそのときはベイカー，スタークに先を越されていて遅きに失した状況にありました．
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［４］クラインの整数
ベイカー・スタークの定理により，ガウス整数とアイゼンスタイン整数は一意分解性をもつことがわかりますが，それに続いて最も簡単な整数環は
λ＝（−１＋√−７）／２
ａ＋ｂλ
です．
クライン整数は２つの単数±１のみをもち，菱形格子をなします．クライン環の特徴は，２が素因数分解されることです．
２＝（−１＋√−７）／２・（−１−√−７）／２
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【４】四元数
アイルランドの数学者ハミルトンは４個の実数の組よるなる四元数（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）を発明しました（１８４３年）．四元数は複素数に似ていますが，ただ１つではなく３つの虚数をもつ複素数を拡大した数体系で，
ｉ^2＝−１，ｊ^2＝−１，ｋ^2＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ
なる性質をもち，
（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2
となります．四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちません（ａｂ≠ｂａ）．
［１］四元整数（リプシッツの整数）
ハミルトンの四元数
Ｈ＝ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ
において，ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数に限った「四元整数」は４次元単純立方格子と同一視することができます．
ハミルトンの四元整数環は乗法の交換法則が成り立たない非可換環ですが，４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの３次元球面上には必ず格子点があることを主張しているのが「ラグランジュの定理」であることは，このコラムでもこれまで何回か説明したとおりです．
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［２］フルヴィッツの整数とＤ4格子
四元整数（リプシッツの整数）に
（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
を追加した数の体系を「フルヴィッツの整数」と呼びます．ａ，ｂ，ｃ，ｄのすべてが整数か，あるいはすべてが半整数のとき，フルヴィッツの整数なのです．フルヴィッツの整数全体は整数座標点と半整数座標点からなりますので，４次元体心立方格子であるというわけです．
なお，
（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
は１の原始６乗根であり，
ζ＝ζ++++＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
とおくと，
ζ^2＝ζ-+++，ζ^3＝−１，ζ^4＝ζ----，ζ^5＝ζ+---，ζ^6＝１
となります．
フルヴィッツ単数すなわち１の約数は，
±１，±ｉ，±ｊ，±ｋ ８個
ζ±±±±のあらゆる符号の組合せ（±１±ｉ±ｊ±ｋ）／２をとった１６個
の計２４個あります．
四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちませんから，Ｐを２つのフルヴィッツ整数の積で表す方法は単数Ｕを右からかけるＰ＝Ｐ’Ｕ，単数Ｖを左からかけるＰ＝ＶＰ”の２通りあります．Ｐがフルヴィッツ素数のときの素因数分解はＵ，Ｖを２４個のフルヴィッツ単数上を動かしたときの
Ｐ＝ＰＵ^(-1)・Ｕ，Ｐ＝Ｖ・Ｖ^(-1)Ｐ
だけです．
したがって，Ｑのフルヴィッツ素数への分解
Ｑ＝Ｐ0Ｐ1・・・Ｐk
があるとき，
Ｑ＝Ｐ0Ｕ1・Ｕ1^(-1)Ｐ1Ｕ2・・・Ｕk^(-1)Ｐk
も素因数分解となります．このような単数転移を除いて，フルヴィッツの整数においても素因数分解の一意性が成立します．それに対して，リプシッツ整数の分解は一意ではありません．
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【５】八元数
ハミルトンの有名な四元数は複素数の拡張ですが，さらに，イギリスの数学者ケイリーによって８個の基底元１，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ，ｏをもつ代数＜八元数＞も発明されました（１８４５年）．
ｉ^2＝ｊ^2＝ｋ^2＝ｌ^2＝ｍ^2＝ｎ^2＝ｏ^2＝−１，
ｉ＝ｊｋ＝ｌｍ＝ｏｎ＝−ｋｊ＝−ｍｌ＝−ｎｏ，
ｊ＝ｋｉ＝ｌｎ＝ｍｏ＝−ｉｋ＝−ｎｌ＝−ｏｍ，
ｋ＝ｉｊ＝ｌｏ＝ｎｍ＝−ｊｉ＝−ｏｌ＝−ｍｎ，
ｌ＝ｍｉ＝ｎｊ＝ｏｋ＝−ｉｍ＝−ｊｎ＝−ｋｏ，
ｍ＝ｉｌ＝ｏｊ＝ｋｎ＝−ｌｉ＝−ｊｏ＝−ｎｋ，
ｎ＝ｊｌ＝ｉｏ＝ｍｋ＝−ｌｊ＝−ｏｉ＝−ｋｍ，
ｏ＝ｎｉ＝ｊｍ＝ｋｌ＝−ｉｎ＝−ｍｊ＝−ｌｋ
ハミルトンの四元数は乗法の交換法則を満たさない非可換体（斜体）
ａｂ≠ｂａ
ですが，八元数ではさらに乗法の結合法則も破れています．
ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ
しばしば「ケイリー数体」と呼ばれますが，厳密にいうと体ではなく「体もどき」ということになります．さらに，１６個の基底元をもつ同様の代数を構成しようと試みられましたが，それは成功するはずはありませんでした．
八元数は，実数単位ｅ0と７個の虚数単位ｅi(i=1~7)による一次結合Σａjｅjで表されますが，
ｅ0ｅi＝ｅiｅ0＝ｅi，ｅi^2＝−１，ｅiｅj＝−ｅjｅi
はよいとしても，
ｅiｅj＝＋ｅk・・・交換則
ｅiｅj＝−ｅk・・・反交換則
の組合せは様々です．
また，結合法則に関しても
（ｅiｅj)ｅk＝＋ｅi（ｅjｅk）・・・結合則
（ｅiｅj)ｅk＝−ｅi（ｅjｅk）・・・反結合則
の２つの場合があります．
（ｅiｅj)ｅk＝＋ｅi（ｅjｅk）・・・結合則
は（ｉ，ｊ，ｋ）のなかに０（実数）が含まれるときと同一の番号があるときには常に成立しますが，（ｉ，ｊ，ｋ）が１〜７のうちですべて異なるときは必ずしも成り立ちません．
そこで，（ｉ，ｊ，ｋ）＝（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の場合に結合則を満たすものと決めます．この７組は３ビットの２進数で表し，各々のビットの排他的論理和をとると０になるので便利です．
（１，２，３）＝（001，010，011）＝０
（１，４，５）＝（001，100，101）＝０
（１，６，７）＝（001，110，111）＝０
（２，４，６）＝（010，100，110）＝０
（２，５，７）＝（010，101，111）＝０
（３，４，７）＝（011，100，111）＝０
（３，５，６）＝（011，101，110）＝０
［補］最も簡単な射影平面は，有限体Ｚ2上の２次元射影幾何であって，ファノ平面と呼ばれています．そして，７個の点ｐ1〜ｐ7を（１〜７）と略記することにして，例えば，７本の直線上の３点の組を（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の７組の体系は射影幾何の公理系を満たすことになります．
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［２］ケイリー整数とＥ8格子
八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が
1)整数値をとるもの
をグレーブス整数と呼びます．さらに
2)半整数値の奇数倍をとるもの
3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの
を加えて，「ケイリーの（八元）整数」と呼びます．
半整数値をとる座標は０個か４個か８個です．ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．
このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．
Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．
そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっていて，Ｅ8はＡ8とＤ8両方を含んでいるというわけです．
ケイリーの整数の素因数分解では，フルヴィッツ整数のように単数転移だけでは一意的ではなく，結合法則の欠如も考慮しなければなりません．ＰＵ・Ｕ1^(-1)ＱがＰＱに等しいとは限らないのです．しかしながら，たとえば，Ｐ1（（Ｐ2Ｐ3）Ｐ4）と（Ｐ1Ｐ2）（Ｐ3Ｐ4）の間の関係づけの正当化（メタ転移）を要求することによって一意的にできるのです．
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