Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＝２ｃｏｔ（π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＝６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＝２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＝７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）

はすべて正しい公式であり，ｎ＞ｍといった必要条件も不要である．

　２，６，２０，７０は中央二項係数（２ｍ，ｍ）であり，偶数乗和

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

との類似がみられる．今回のコラムでは奇数乗和の一般式を導出してみることにする．

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　　（ｓｉｎθ）^3＝（−ｓｉｎ３θ＋３ｓｉｎθ）／４

　　（ｓｉｎθ）^5＝（ｓｉｎ５θ−５ｓｉｎ３θ＋１０ｓｉｎθ）／１６

　　（ｓｉｎθ）^7＝（−ｓｉｎ７θ＋７ｓｉｎ５θ−２１ｓｉｎ３θ＋３５ｓｉｎθ）／６４

　一般に

　　（ｓｉｎθ）^2m＝１／２^2m-1Σ(0,m-1)（−１）^(m+k)（２ｍ，ｋ）ｃｏｓ（２ｍ−２ｋ）θ

　　（ｓｉｎθ）^2m+1＝１／２^2mΣ(0,m)（−１）^(m+k)（２ｍ＋１，ｋ）ｓｉｎ（２ｍ＋１−２ｋ）θ

　これより

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m+1＝２Σ(0,m)（−１）^(m+k)（２ｍ＋１，ｋ）ｃｏｔ（２ｍ＋１−２ｋ）π／２ｎ

となる．

　なお，

　　２（２ｍ＋１，ｍ）＝（２（ｍ＋１），ｍ＋１）

なので，偶数乗和

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

と対比させるためには

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m-1＝２Σ(0,m-1)（−１）^(m-1+k)（２ｍ−１，ｋ）ｃｏｔ（２ｍ−１−２ｋ）π／２ｎ

　　２（２ｍ−１，ｍ−１）＝（２ｍ，ｍ）

のほうがわかりやしかもしれない．

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