［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの和を求めよ．

［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→和＝２√３．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→和＝２√２＋２．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→和＝２・１＋２√３＋２＝４＋２√３

　特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，和＝２となる．一般に対角線や辺の長さは無理数になる．したがって，長さの和も無理数になる．

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの３乗和を求めよ．

［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→３乗和＝２（√３）^3＝６√３．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→３乗和＝２（√２）^3＋２^3＝４√３＋８．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→３乗和＝２・１^3＋２（√３）^3＋２^3＝６√３＋１０．

　特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，３乗和＝２^3＝８．長さの奇数乗和についてはこれまでのところ，何が示唆されるのか皆目見当がつかない．

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［証明］

　　Ｐk＝（ｃｏｓ（２ｋπ／ｎ），ｓｉｎ（２ｋπ／ｎ））

　　Ｐ0・Ｐj＝ｃｏｓ（２ｊπ／ｎ）

　　１−Ｐ0・Ｐj＝２（ｓｉｎ（ｊπ／ｎ））^2

　すなわち，半径１の円に内接する正ｎ角形の一頂点から他のｎ−１個の頂点への距離は，三角関数で表現すれば

　 ｜Ｐ0Ｐk｜＝２ｓｉｎ（ｋπ／ｎ）

だから，

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m+1＝２^2m+1Σ(1,n))（ｓｉｎ（ｊπ／ｎ））^2m+1

の値を求めるということになる．

［１］ｍ＝０

　　Σ(1,n))（ｓｉｎ（ｊπ／ｎ））＝ｃｏｔ（π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜＝２ｃｏｔ（π／２ｎ）

［２］ｍ＝１

　　Σ(1,n))（ｓｉｎ（ｊπ／ｎ））^3＝３／４ｃｏｔ（π／２ｎ）−１／４ｃｏｔ（３π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^3＝６ｃｏｔ（π／２ｎ）−２ｃｏｔ（３π／２ｎ）

［３］ｍ

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m+1＝？

　　（ｓｉｎθ）^3＝（−ｓｉｎ３θ＋３ｓｉｎθ）／４

　　（ｓｉｎθ）^5＝（ｓｉｎ５θ−５ｓｉｎ３θ＋１０ｓｉｎθ）／１６

　　（ｓｉｎθ）^7＝（−ｓｉｎ７θ＋７ｓｉｎ５θ−２１ｓｉｎ３θ＋３５ｓｉｎθ）／６４

より，

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^5＝２０ｃｏｔ（π／２ｎ）−１０ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋２ｃｏｔ（５π／２ｎ）

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^7＝７０ｃｏｔ（π／２ｎ）−４２ｃｏｔ（３π／２ｎ）＋１４ｃｏｔ（５π／２ｎ）−２ｃｏｔ（７π／２ｎ）

　以上より

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m-1＜Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

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