周長が

　　∫(0,x)1/(1-x^n)^(1/2)dx　　　(n=1~6)

で与えられる曲線については

［１］任意等分可能・・・・・・カージオイド

［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート

［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）

［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２）

と分類できるようである．

　２等分可能な曲線は４等分，８等分も可能であったが，どうしてなのだろうか？

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【１】無理関数型加法定理

　２等分点を求める問題は，倍角公式

　　２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）＝α

の問題に還元される．

　　円：ｍ＝−１，ｎ＝０，α＝１，ｋ＝０

　　レムニスケート：ｍ＝０，ｎ＝−１，α＝１，ｋ＝ｉ

　　中間曲線：ｍ＝−（１＋ｋ^2），ｎ＝ｋ^2，α＝（４√３−６）^1/2

　　　　　　　ｋ＝（√２＋√６）／４，ｋ^2＝（２＋√３）／４

　ここで，倍角公式

　　ｓ（２ｕ）＝α　　（αは定数）

ではなく

　　ｓ（２ｕ）＝ａ　　（ａは一般の不定変数）

とする．

　　２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2＝ａ（１−ｎｘ^4）

　　４ｘ^2（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）＝ａ^2（１−ｎｘ^4）^2

ｙ＝ｘ^2とおくと，４次式

　　４ｙ（１＋ｍｙ＋ｎｙ^2）＝ａ^2（１−ｎｙ^2）^2

に還元される．

　これがさらに２次式に還元できればよいのであるが，

　　４ｙ（１−（１＋ｋ^2）ｙ＋ｋ^2ｙ^2）＝ａ^2（１−ｋ^2ｙ^2）^2

　　４ｙ（１−ｙ）（１−ｋ^2ｙ）＝ａ^2（１−ｋｙ）^2（１＋ｋｙ）^2

となって因数分解は無駄のようだ．

　２等分方程式

　　４ｙ（１＋ｍｙ＋ｎｙ^2）＝ａ^2（１−ｎｙ^2）^2

はどのようなときに２次方程式の範囲内で代数的に解くことができるのだろうか？

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【２】有理関数型加法定理

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝１

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

　これらは初めから４次式の形で得られる．右辺を一般の不定変数ａとしてもよいのであるが，一般に２次方程式の範囲内で代数的に可解ではない．どのようなときに完全に解くことができるのだろうか？

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