レムニスケート関数と三角関数の類似性がレムニスケート関数の理論を構築する助けとなった．たとえば，三角関数の加法公式
ｚ＝｛ｘ（１−ｙ^2）^1/2＋ｙ（１−ｘ^2）^1/2｝
ｘ＝sin[u]，ｙ＝sin[v]，ｚ＝sin[u+v]
に対して，レムニスケート関数の加法公式は
ｚ＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2＋ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）
ｘ＝sl[u]，ｙ＝sl[v]，ｚ＝sl[u+v]
である．ここで注意しておきたいことはｙ＝（ｋ−１）ｘではなく，ｖ＝（ｋ−１）ｕとして得られる式がｋ倍角公式である．
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【１】ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4の場合
このとき，微分方程式
ｄｘ／（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）
の一般解は
−ｎｃ^2ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2
で与えられる．
ｙに関する２次方程式
ｙ^2（１−ｃ^2ｘ^2）−２ｙｘ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2ｘ＋ｘ^2−ｃ^2＝０
を解いて，
ｙ＝｛ｘ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2±ｃ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｃ^2ｘ^2）
ｃ＝０の場合が自明な解ｘ＝ｙ．１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4＝０の場合，
ｙ＝ｃ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｃ^2ｘ^2）
が反転公式である．
ここで，適宜変数を置き換えると，加法・減法公式
ｘ’＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2±ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）
が得られる．レムニスケートではｍ＝０，ｎ＝−１より，加法・減法公式は
ｘ’＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2±ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）
楕円曲線ｙ^2＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4において，Ａ（０，１），Ｂ（ａ，ｂ）にとれば，ｂ^2＝１＋ｍａ^2＋ｎａ^4となるが，このとき，加法・減法公式は
ｘ’＝（ｂｘ±ａｙ）／（１−ｎａ^2ｘ^2）
と表すことができる．さらに加法公式においてｘ＝ｙとおけば，
ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）
となって，倍角公式を得ることができる．
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【２】（ｎ，ｍ）＝（３，３），（３，５）の場合
弧長が積分
Ｉ＝∫(c,1)ｄｘ／（１−ｘ^3）^1/2
で表される曲線の等分点を求める問題は，加法公式
ｚ＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）
ｋ＝（√２＋√６）／４，ｋ^2＝（２＋√３）／４
ｍ＝−（１＋ｋ^2），ｎ＝ｋ^2，α＝（４√３−６）^1/2
の問題に還元されたことになる．
３倍角公式ではｙ＝２ｘとおくのではなく
ｘ＝s[u]，ｙ＝s[v]，ｚ＝s[u+v]
において，ｖ＝２ｕとおかなければならない．
s(3u)=(s(u)（１＋ｍs(2u)＋ｎs(2u)^4）^1/2＋s(2u)（１＋ｍs(u)^2＋ｎs(u)^4）^1/2｝／（１−ｎs(u)^2s(2u)^2）＝α
を解くと数値解
ｓ（ｕ）＝０．５４９６８７
また，５倍角公式s(3u)=α
を解くと
ｓ（ｕ）＝０．３５３６８７
が得られたが，解析解は得られなかった．
阪本ひろむ氏の計算から（ｎ，ｍ）＝（３，３），（３，５）は作図不可能であることが示唆されるのである．
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【３】まとめ
周長が
∫(0,x)1/(1-x^n)^(1/2)dx (n=1~6)
で与えられる曲線をｍ等分する問題を考えてきた．等分される曲線は整数分の１という条件が付いているだけで，もちろん，それそれの長さは無理数でもかまわない．
これまで調べた結果，
［１］任意等分可能・・・・・・カージオイド
［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート
［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）
［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２）
と分類できるという予想は正しいようである．
もし，ｎ倍角公式
ｓ（ｎｕ）＝α （αは定数）
をｓ（ｕ）について解いて，作図可能解が得られるならば，
ｓ（ｍｕ）＝（ｓ（ｎｕ）＝α）
とすれば，ｍｎ等分点が芋づる式に得られることになる．
ｎ倍角公式
ｓ（ｎｕ）＝ａ （ａは一般の不定変数）
をｓ（ｕ）について解いて，それにαを代入する計算方法が正解だったかもしれない．
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