正ｎ角形では外接円（半径Ｒ）と内接円（半径ｒ）の間に

　　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／ｎ）

が成り立つが，星形ｎ／ｍ角形のときはどうなるだろうか？

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［１］星形５／２角形：　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（２π／５）

［２］星形７／２角形：　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（２π／７）

［３］星形７／３角形：　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／７）

［４］星形８／３角形：　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／８）

［５］星形９／２角形：　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（２π／９）

［６］星形９／４角形：　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（２π／９）

［７］星形１０／３角形：　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／１０）

　このことからも，凸ｎ角形の場合と基底が異なり，新たに計算する意味があるのは星形５／２，７／２，９／２角形に限られると考えられる．

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　ｃｏｓ（π／５）は４ｘ^2−２ｘ−１＝０に帰着するのに対して，ｃｏｓ（２π／５）は４ｘ^2＋２ｘ−１＝０に帰着する．

　係数の符号が異なるが，前者ではθ＝π／５，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　５θ＝π，３θ＝π−２θ

より，

　　ｃｏｓ３θ＝−ｃｏｓ２θあるいはｓｉｎ３θ＝ｓｉｎ２θ

　　ｓｉｎ３θ＝ｓｉｎ２θ

→−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ

→−４（１−ｃｏｓ^2θ）＋３＝２ｃｏｓθ→４ｘ^2−２ｘ−１＝０

　後者では

　θ＝２π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　５θ＝２π，３θ＝２π−２θ

より，

　　ｃｏｓ３θ＝ｃｏｓ２θあるいはｓｉｎ３θ＝−ｓｉｎ２θ

　　ｓｉｎ３θ＝−ｓｉｎ２θ

→−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ＝−２ｓｉｎθｃｏｓθ

→−４（１−ｃｏｓ^2θ）＋３＝−２ｃｏｓθ→４ｘ^2＋２ｘ−１＝０

となるからである．

　同様に，ｃｏｓ（π／７）は８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着するのに対して，ｃｏｓ（２π／７）は８ｘ^3＋４ｘ^2−４ｘ−１＝０に帰着する．

　また，ｘ＝ｃｏｓ（π／９）とおくと，３倍角の公式

　　４ｘ^3−３ｘ＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２

より，３次方程式：８ｘ^3 −６ｘ−１＝０に帰着する．一方，ｘ＝ｃｏｓ（２π／９）とおくと，３倍角の公式

　　４ｘ^3−３ｘ＝ｃｏｓ（２π／３）＝−１／２

より，３次方程式：８ｘ^3 −６ｘ＋１＝０に帰着することがわかる．

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