F(x)=∫1/(1-x^5)^(1/2)dx

の２等分点については何の手がかりも得られていない．ところで，周長積分

　　F(x)=∫1/(1-x^k)^(1/2)dx

　　f(x)=1/(1-x^k)^(1/2)　　

は，超幾何関数ではどのように表されるのであろうか？

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　　F'(x)=f(x)=(1-x^k)^(-1/2)=1+(-1/2)/1!(-x^k)+(-1/2)(-3/2)/2!(-x^k)^2+(-1/2)(-3/2)(-5/2)/3!(-x^k)^3+･･･

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=-(2n+1)/2*(-x^k)/(n+1)=(n+1/2)*(x^k)/(n+1)

であるから，

　　f(x)=1Ｆ0(1/2;x^k)=1+1/2/1!x^k+1/2･3/2/2!x^2k+1/2･3/2･5/2/3!x^3k+･･･

項別積分すると

　　∫f(x)dx=x+1/2/1!(k+1)x^(k+1)+1/2･3/2/2!(2k+1)x^(2k+1)+1/2･3/2･5/2/3!(3k+1)x^(3k+1)+･･･

=x{1+1/2/1!(k+1)x^k+1/2･3/2/2!(2k+1)x^2k+1/2･3/2･5/2/3!(3k+1)x^3k+･･･}

　{･･･}について，この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1/2)(nk+1)/((n+1)k+1)*(x^k)/(n+1)

=(n+1/2)(n+1/k)/(n+1+1/k)*(x^k)/(n+1)

であるから，

　　2Ｆ1(1/2,1/k,1+1/k:x^k)

したがって

　　F(x)=∫1/(1-x^k)^(1/2)dx=x2Ｆ1(1/2,1/k,1+1/k:x^k)

が成り立つ．

　たとえば，k=5では

　　F(x)=∫1/(1-x^5)^(1/2)dx=x2Ｆ1(1/2,1/5,6/5:x^5)

となるのである．しかし，Mathematicaでもこの逆関数は用意されておらず，２等分の対象ではないようだ．

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［補］超幾何関数の微分について

　　d/dx1Ｆ0(a;x)=a1Ｆ0(a+1;x)

が成り立つ．したがって，

　　d/dx1Ｆ0(a;x^k)=akx^(k-1)1Ｆ0(a+1;x^k)

　　d/dx1Ｆ0(a;x^k)/akx^(k-1)=1Ｆ0(a+1;x^k)

　　d/dx1Ｆ0(a-1;x^k)/(a-1)kx^(k-1)=1Ｆ0(a;x^k)

　なお，畏友・阪本ひろむ氏によると，Mathematicaでは，

　　∫(0,1){logt}^n/√(1-t^2)dt

とおいたとき，ｎ≦１４では対数関数とゼータ関数で表されるのに，ｎ＞１４では超幾何関数で表される．それにしても，超幾何関数はどのような条件のもとで，他の初等関数・特殊関数に変換される仕組みになっているのであろうか？

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