周長が

　　∫1/(1-x^n)^(1/2)dx

で表される曲線は

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２・θ）

である．

　この曲線はバラ曲線あるいは正葉曲線の変形版になっていて，円（ｎ＝２）もレムニスケート（ｎ＝４）もこの曲線族に属する．

　本来のバラ曲線あるいは正葉曲線は

　　ｒ＝ｓｉｎ（ｎθ），ｒ＝ｃｏｓ（ｎθ）

と定義される．１枚の花びらに対応するθの定義域は［０，π／ｎ］．

　花びらの数ｍはｎが奇数のときｍ＝ｎ枚，ｎが偶数のときｍ＝２ｎ枚となるが，これはｍ（ｎ−１）／ｎが２の倍数となる最小の正の整数ｍである．ｎが分数の場合も同様で，たとえば，ｒ＝ｓｉｎ（４θ／３）では

　　ｍ（ｎ−１）／ｎ＝ｍ／４　→　ｍ＝８

ｒ＝ｓｉｎ（θ／２）では

　　ｍ（ｎ−１）／ｎ＝−ｍ　→　ｍ＝２

ｒ＝ｓｉｎ（θ／３）では

　　ｍ（ｎ−１）／ｎ＝−２ｍ　→　ｍ＝１

となる．

　面積は

　　１／２∫ｒ^2ｄθ＝１／２∫ｓｉｎ^2ｎθｄθ＝１／４∫（１−ｃｏｓ２ｎθ）ｄθ＝π／４ｎ

それでは，この曲線の周長はどのように表されるのだろうか？

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［１］正葉線

　　ｒ＝ｓｉｎ（ｎθ）

　　dr/dθ＝ｎｃｏｓ（ｎθ）

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=｛１＋（ｒ／ｎｃｏｓ（ｎθ））^2｝^1/2＝｛１＋ｒ^2／ｎ^2（１−ｒ^2）｝^1/2→ｎ＝１のとき，円積分

［２］副葉線

　　ｒ^2＝ｓｉｎ（ｎθ）

　　２ｒdr/dθ＝ｎｃｏｓ（ｎθ）

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=｛１＋（２ｒ^2／ｎｃｏｓ（ｎθ））^2｝^1/2＝｛１＋（２／ｎ）^2ｒ^4／（１−ｒ^4）｝^1/2→ｎ＝２のとき，レムニスケート積分

［３］変形正葉線

　　ｒ^n＝ｓｉｎ（ｎθ）

　　ｎｒ^n-1dr/dθ＝ｎｃｏｓ（ｎθ）

　　{1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=｛１＋（ｒ^n／ｃｏｓ（ｎθ））^2｝^1/2＝｛１＋ｒ^2n／（１−ｒ^2n）｝^1/2＝｛１／（１−ｒ^2n）｝^1/2

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【雑感】

　たとえば，

　　∫(0,x)ｘｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2

を考えると

　　∫(0,x)ｘｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝１／２ａｒｃｓｉｎｘ^2

のように初等関数で表されるので，擬楕円積分と呼ばれる．

　当初はこの類に帰着されることを期待したのであるが，そうはならなかった．

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