ｘ^n−１の因数分解が，ｎの約数ｄを使って次のように書かれることを考えます．
ｘ−１＝Φ1（ｘ）
ｘ^2−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）
ｘ^3−１＝Φ1（ｘ）Φ3（ｘ）
ｘ^4−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ4（ｘ）
ｘ^5−１＝Φ1（ｘ）Φ5（ｘ）
ｘ^6−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）
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ｘ^18−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ18（ｘ）
ｘ^36−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ4（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ12（ｘ）Φ18（ｘ）Φ36（ｘ）
すると，円分多項式は
Φ1（ｘ）＝ｘ−１
Φ2（ｘ）＝ｘ＋１
Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１
Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１
Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１
Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１
Φ7（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ−１
Φ8（ｘ）＝ｘ^4＋１
Φ9（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^3＋１
Φ12（ｘ）＝ｘ^4−ｘ^2＋１
Φ15（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^7＋ｘ^5−ｘ^4＋ｘ^3−ｘ＋１
Φ16（ｘ）＝ｘ^8＋１
Φ18（ｘ）＝ｘ^6−ｘ^3＋１
Φ24（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^4＋１
Φ36（ｘ）＝ｘ^12−ｘ^6＋１
と定まります．
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【１】円分多項式の解
［１］Φ1（ｘ）＝ｘ−１＝０
ｘ＝１
［２］Φ2（ｘ）＝ｘ＋１＝０
ｘ＝−１
［３］Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１＝０
ｘ＝（−１±ｉ√３）／２＝ω，ω^2
［４］Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１＝０
ｘ＝±ｉ
［５］Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１＝０
ｘ＝（１±ｉ√３）／２
［６］Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０
ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式
ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０
の両辺をｘ^2でわり，
ｘ^2＋ｘ＋１＋１／ｘ＋１／ｘ^2＝０ （相反方程式）
ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）
と変数変換すると２次方程式
ｙ^2＋ｙ−１＝０
に帰着され，
ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）
ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４
が得られる．
正三角形。正方形，正六角形に較べ，正５角形はなぜ描くのが難しいのかという問いに対するい答えは円分多項式にあるというわけですが，作図可能であることを示すためには２次方程式に帰着させればよく，作図方法を見つける必要はありません．
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【２】正七角形
円分多項式を相反多項式にして
ｙ＝ｘ＋１／ｘ
とおくと
ｙ＝２ｃｏｓ（２π／ｎ）
が得られます．
正七角形の場合の円分多項式
ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ＋１＝０
では
ｙ＝２ｃｏｓ（２π／７）
になるというわけです．
ここでは複素数（円分多項式）を使わずに，正七角形が作図不可能であることを証明します．
［１］ｃｏｓ（π／７）
ｃｏｓ（π／７）が３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０の解として得られます．
ｘ＝１／６｛１＋√７ｃｏｓ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）＋√２１ｓｉｎ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）｝＝０．９００９６９
すぐに思いつくのは７倍角の公式
ｃｏｓ７θ＝６４ｃｏｓ^7θ−１１２ｃｏｓ^5＋５６ｃｏｓ^3−７ｃｏｓθ
において，θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
６４ｘ^7−１１２ｘ^5＋５６ｘ^3−７ｘ＝−１
７次方程式の解として得られるというものであるが，３次方程式に還元させてみよう．
θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
７θ＝π，４θ＝π−３θ
より，
ｃｏｓ４θ＝−ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ
前者は４次方程式
８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝−４ｃｏｓ^3θ＋３ｃｏｓθ
後者は
８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^2θ＋３
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｃｏｓ^2θ−１
より３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着する．後者の方が方程式の次数が下がり，（ｎ−１）／２次方程式となることがおわかりいただけるであろう．
［２］ｃｏｓ（２π／７）
θ＝２π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
７θ＝２π，４θ＝２π−３θ
より，
ｃｏｓ４θ＝ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝−ｓｉｎ３θ
前者は４次方程式
８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ
後者は
８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^3θ−３ｓｉｎθ
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^2θ−３
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｃｏｓ^2θ＋１
より３次方程式：８ｘ^3＋４ｘ^2−４ｘ−１＝０に帰着するというわけである．
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【３】正九角形
正９角形はｘ＝ｃｏｓ（π／９）とおくと，３倍角の公式
４ｘ^3−３ｘ＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２
より，３次方程式：８ｘ^3 −６ｘ−１＝０に帰着します．あるいは，θ＝π／９，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
９θ＝π，５θ＝π−４θ
より，
ｃｏｓ５θ＝−ｃｏｓ４θあるいはｓｉｎ５θ＝ｓｉｎ４θ
前者は５次方程式
１６ｃｏｓ^5θ−２０ｃｏｓ^3θ＋５ｃｏｓθ＝−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ−１
となるが，後者は
１６ｓｉｎ^5θ−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ＝８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ
１６ｓｉｎ^4θ−２０ｓｉｎ^2θ＋５＝８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ
よりｃｏｓθ関する３次方程式に帰着するというわけである．
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【４】雑感
ｃｏｓ（π／７）は８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着するのに対して，ｃｏｓ（２π／７）は８ｘ^3＋４ｘ^2−４ｘ−１＝０に帰着する．
係数の符号が異なるが，前者ではθ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
７θ＝π，４θ＝π−３θ
より，
ｃｏｓ４θ＝−ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ
後者では
θ＝２π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
７θ＝２π，４θ＝２π−３θ
より，
ｃｏｓ４θ＝ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝−ｓｉｎ３θ
となるからである．
この事情はｃｏｓ（π／５）とｃｏｓ（２π／５），ｃｏｓ（π／９）とｃｏｓ（２π／９）でも同様である．
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