レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｐ＝２^2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることである．

　これまで調べた曲線では

［１］任意等分可能・・・・・・カージオイド

［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート

［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）

［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２）

となっていたが，これらはどのように特徴づけられるのであろうか？

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【１】歴史からのアプローチ

　オイラーは円からの類推を用いて，

　　1/(1-t^3)^(1/2)

　　1/(1-t^4)^(1/2)

　　1/(1-t^6)^(1/2)

に対する一般積分を見いだしているのですが，

　　1/(1-t^5)^(1/2)

に対しては結果が得られなかったようです．

　また，ガウスは１７９６年に

　　u=F(x)=∫(0,x)1/(1-t^3)^(1/2)f(t)dt

の逆関数，その翌年には

　　u=F(x)=∫(0,x)1/(1-t^4)^(1/2)f(t)dt

の逆関数について考察しています．

　後者はレムニスケートサイン関数の定義につながるものであったわけですが，ガウスの円周等分理論「コンパスと定規でｎ等分できるのは，２^2^qi＋１の形をした相異なる素数ｐiにより２^mΠｐiと書かれる場合である」は円関数ばかりでなく他の超越関数，たとえば，

　　u=∫(0,x)f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)dt

にも応用できます．

　微分方程式

　　dy/{(1-c^2y^2)(1-e^2y^2)}^(1/2)=a･dx/{(1-c^2x^2)(1-e^2x^2)}^(1/2)

を満たすようなｘの有理または無理代数関数ｙをすべて求める問題は，特別な場合として変数の倍加（等分）の問題も含んでいます．アーベルはもしこの微分方程式が代数積分をもち，ａが複素数ならばａは必ずｍ±ｉ√ｎ（ｍ，ｎは有理数）の形にかけることを証明しました．これは楕円関数論に虚数乗法が現れた最初の事例と考えられています．

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【２】楕円関数のｎ等分問題

　ガウスの円周等分理論「コンパスと定規でｎ等分できるのは，２^2^qi＋１の形をした相異なる素数ｐiにより２^mΠｐiと書かれる場合である」は円関数ばかりでなく他の超越関数，たとえば，

　　u=∫(0,x)f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)dt

にも応用できる．

　ガウスは円分方程式から２^2^n＋１が素数のとき，定規とコンパスを用いて円周を２^2^n＋１個に等分できることを発見した．アーベルはレムニスケート積分∫dx/√(1-x^4)から，レムニスケートの周長を２^2^n＋１個に等分できることを発見，その発見に促されて一般の第１種楕円積分の研究を始め，とくに等分理論を追求している．

　　α＝∫(0,x)dx/{(1-c^2x^2)(1+e^2x^2)}^(1/2)

の逆関数φ(α)=xにおいて，加法定理

　　φ'(α)={(1-c^2φ^2(α))(1+e^2φ^2(α))}^(1/2)

　　φ(α+β)=(φ(α)φ'(β)+φ(β)φ'(α))/(1+e^2c^2φ^2(α)φ^2(β))

が成り立つ．

　楕円関数φ(u)のｎ等分問題，すなわちφ(nu)=yを与えてφ(u)=xを求める問題を考える．簡単のためｎを奇数とするとφ(nu)=yはφ(u)=xの有理式となり，

　　y=φ(nu)=Ｐn(x)/Ｑn(x)

と表される．

　ここでＰn(x)はｘのｎ^2次，Ｑn(x)はｎ^2−１次多項式であり，楕円関数φ(u)のｎ等分問題の解x=φ(u)は，ｎ^2次方程式

　　Ｐn(x)-yＱn(x)=0

の根となる．

　等分方程式は，たとえばｅ＝ｃ（レムニスケート積分），ｅ＝ｃ√３，ｅ＝ｃ（２±√３）等々のときには完全に解くことができるが，等分方程式は一般に代数的に可解ではない．

　　→１−ｃ^4ｘ^4

　　→１＋２ｃ^2ｘ^2−３ｃ^4ｘ^4

　　→１＋（６±４√３）ｃ^2ｘ^2−（７±４√３）ｃ^4ｘ^4

　アーベルは，等分方程式は一般に代数的に可解ではないことを発見しているのだが，このようにアーベルの関心の中心は楕円関数と代数方程式の研究にあり，その２つの分野は彼の中では密接に関連し合っていたことがわかる．

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【３】虚数乗法をもつ楕円関数

　加法・減法公式

　　dy/p(y)^(1/2)=±dx/p(x)^(1/2)

で，加法公式を繰り返し適用すれば乗法公式

　　dy/p(y)^(1/2)=a･dx/p(x)^(1/2)

を導くことができるが，微分方程式

　　dy/{(1-c^2y^2)(1+e^2y^2)}^(1/2)=a･dx/{(1-c^2x^2)(1+e^2x^2)}^(1/2)

を満たすようなｘの有理または無理代数関数ｙをすべて求める問題は，特別な場合として変数の倍加（等分）の問題も含んでいる．

　アーベルは異なるモジュールをもつ同じ形の積分

　　dy/{(1-c1^2y^2)(1+e1^2y^2)}^(1/2)=a･dx/{(1-c^2x^2)(1+e^2x^2)}^(1/2)

に変換する方法を示すことによって，代数的に可解となるような楕円関数のあるクラスを発見することができた．これが虚数乗法をもつ楕円関数である．

　そして，アーベルは

［１］もしこの微分方程式が代数積分をもち，ａが実数ならばａは必ず有理数でなければならない

［２］もしこの微分方程式が代数積分をもち，ａが複素数ならばａは必ずｍ±ｉ√ｎ（ｍ，ｎは有理数）の形でなければならない

ことを証明した．これは楕円関数論に虚数乗法が現れた最初の事例と考えられている．

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