ファニャーノはレムニスケートの四半弧を同じ長さの２つの弧へ分解することができることを示しました．もう一度この手続きを繰り返すと４半角公式，２等分を３回繰り返すと８半角公式，・・・．これによって１／２^n倍に対する値が導かれます．

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【１】∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）

において，ｐ（ｕ）＝ｐ，ｐ（２ｕ）＝１とおくことにします．すると，

　　（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）＝（４ｐ^3−４ｐ）

より，ｐ=1+√2

　次に，

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝１＋√２

を解く．畏友・阪本ひろむ氏にお願いしてMathematicaで計算してもらったところ，解析解はとても長くなり，言葉が一切入らない数式が数ページにもおよんだ．そこで，近似解のみを示すと，ｐ＝９．３３０３４．

　引き続き

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝９．３３０３４

を解いて，ｐ＝３７．２４０７．

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【２】∫1/(1-x^6)^(1/2)dx

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ

　次に

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１＋√３

を解く．解析解はとても長くなる．近似解のみを示すと

　　ｐ＝１０．８５１７

を解いて，

　引き続き

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１０，８５１７

を解いて，ｐ＝４３．４０２１．

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