Ｐ（ｘ，ｙ）を次数ｎ未満の多項式とするとき，単位円上の平均と内接正ｎ角形の頂点での平均は等しい・・・を補足しておきたい．

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　ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθであるから，

　　Ｐ（ｘ，ｙ）＝Ｐ（θ）

したがって，単位円上の平均は

　　∫(0,2π)Ｐ（θ）ｄθ／２π

となる．

　一方，内接正ｎ角形の頂点での平均とは，

　　ｘ＝ｃｏｓ（２π／ｎ・ｊ），ｙ＝ｓｉｎ（２π／ｎ・ｊ），θ＝２π／ｎ・ｊ

より

　　Σ(0,n-1)Ｐ（θ）／ｎ

　単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対して，４乗和

　　Ｐ（ｘ，ｙ）＝Ｐ（θ）＝Σ(1,n)｜ＱＰj｜^4

として定義する．

　　Σ(1,n)｜ＱＰj｜^4＝６ｎ

であるから，内接正ｎ角形の頂点での平均は

　　Σ(0,n-1)Ｐ（θ）／ｎ＝６

　したがって，単位円上の平均は

　　∫(0,2π)Ｐ（θ）ｄθ／２π＝６

で，単位円上での積分は

　　∫(0,2π)Ｐ（θ）ｄθ＝６・２π

である．

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　ここでは，

　　Ｐ（ｘ，ｙ）＝Ｐ（θ）＝Σ(1,n)｜ＱＰj｜^4

として定義したが，次数ｎ未満の多項式，たとえば

　　Ｐ（ｘ，ｙ）＝ｘ^2＋ｘｙ^2　　（次数３）

の場合も正ｎ角形の頂点上での平均と単位円上の平均が一致するのである．

　また，Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）を次数ｎ未満の多項式とするとき，単位球上の平均と内接正多面体（頂点数ｎ）の頂点での平均は等しい・・・は，Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）の次数が２の場合は正多面体に限らず，重心が（０，０，０）であれば成り立つ．たとえば，正多面体でない準正多面体として３次元の立方八面体や１２面・２０面体など，この性質をもつ多面体は多数あることが知られている．

　次数が３のとき正多面体はこの性質をもつが，一般のｎについてもこの性質をもつ有限集合が存在することが，イギリスの数学者セームールによって証明されている．

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