単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対しても，

　　Π｜ＱＰj｜　　　　　（黄）

　　Σ１／｜ＱＰj｜^2　　（緑）

を計算して図示する．

　ｘ軸上の定義域は，単位円上の動点Ｑが正ｎ角形の頂点から円弧上の中点までをとった．

　　Σ(1,n)｜ＱＰj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ　　　（ｎ＞ｍ）

は一定であったが，

　　Π｜ＱＰj｜

は正ｎ角形の頂点で最大値ｎ

　　Σ１／｜ＱＰj｜^2

は正ｎ角形の頂点で最小値（ｎ^2−１）／１２をとる．これらの値も（水色）で図示してある．　　

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【１】正三角形

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【２】正方形

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【３】正五角形

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【４】正六角形

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【５】多角形の等周問題

　どのような多角形でも辺の長さを変えずに，内角を変えて円に内接させることができます．また，どのような多角形でも辺の長さを変えずに，内角を変えて囲む面積を最大にすることができます．

　ｎ≧４のとき，各辺の長さが指定されたｎ角形の中で，面積が最大のものは円に内接します．さらに周の長さが指定されたｎ角形の中で，面積が最大のものは正ｎ角形です（円を球帽に変えれば球面ｎ角形に対しても成り立つ）．

　単位円に内接する凸ｎ角形の周長Ｌは

　　Ｌ＝２（ｓｉｎα1＋・・・＋ｓｉｎαn）

これより，

　　Ｌ≦２ｎｓｉｎ（π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｌ＝２（ｔａｎα1＋・・・＋ｔａｎαn）

　　Ｌ≧２ｎｔａｎ（π／ｎ）

　一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立ちます．

　　２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）

　等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちますから，定円に外接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最小であり，内接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最大となります．このことは直観的にも理解されるでしょう．

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