単位円上の動点Ｑが円弧上の中点のとき，２ｍ乗和（Ｓ1＋Ｓ2）／２＝Ｓ0は４ｎ乗和を越えると成り立たなくなった．それでは，円弧上の４分点から各頂点への距離の２ｍ乗和Ｓ3はどうだろうか？

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【１】正二角形

　　　　　　（Ｓ1＋Ｓ2）／２　　Ｓ3 　　　　　Ｓ0

［１］二乗和　　　４　　　　　　４　　　　　　４

［２］四乗和　　　１２　　　　　１２　　　　　１２　　　　

［３］六乗和　　　４０　　　　　４０　　　　　４０　　　　

［４］八乗和　　　１４４　　　　１３６　　　　１４０　　　○

［５］十乗和　　　５４４　　　　４６４　　　　５０４　　　○

［６］十二乗和　　２１１２　　　１５８４　　　１８４８　　○

［７］十四乗和　　８３２０　　　５４０８　　　６８６４　　○

［８］十六乗和　　３３０２４　　１８４６４　　２５７４０　×

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【２】正三角形

　　　　　　（Ｓ1＋Ｓ2）／２　　Ｓ3 　　　　　Ｓ0

［１］二乗和　　　６　　　　　　６　　　　　　６

［２］四乗和　　　１８　　　　　１８　　　　　１８

［３］六乗和　　　６０　　　　　６０　　　　　６０　　　　

［４］八乗和　　　２１０　　　　２１０　　　　２１０　　　

［５］十乗和　　　７５６　　　　７５６　　　　７５６　　　

［６］十二乗和　　２７７８　　　２７６６　　　２７７２　　○

［７］十四乗和　　１０３８０　　１０２１２　　１０２９６　○

［８］十六乗和　　３９３３０　　３７８９０　　３８６１０　○

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【３】正方形

　　　　　　（Ｓ1＋Ｓ2）／２　　Ｓ3 　　　　　Ｓ0

［１］二乗和　　　８　　　　　　８　　　　　　８

［２］四乗和　　　２４　　　　　２４　　　　　２４

［３］六乗和　　　８０　　　　　８０　　　　　８０

［４］八乗和　　　２８０　　　　２８０　　　　２８０　　　

［５］十乗和　　　１００８　　　１００８　　　１００８　　

［６］十二乗和　　３６９６　　　３６９６　　　３６９６　　

［７］十四乗和　　１３７２８　　１３７２８　　１３７２８　

［８］十六乗和　　５１４８８　　５１４７２　　５１４８０　○

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【４】まとめ

［１］Ｓ1＝Ｓ0　　（ｎ＞ｍ）

［２］Ｓ2＝Ｓ0　　（ｎ＞ｍ）

［３］（Ｓ1＋Ｓ2）／２＝Ｓ0　　（ｎ＞ｍ／２）

［４］Ｓ3＝Ｓ0　　（ｎ＞ｍ／２）

［５］（Ｓ1＋Ｓ2＋２Ｓ3）／４＝Ｓ0　　（ｎ＞ｍ／４）

　ここまでくれば，円弧上の８分点から各頂点への距離の２ｍ乗和Ｓ4について，

［６］Ｓ4＝Ｓ0　　（ｎ＞ｍ／４）

［７］（Ｓ1＋Ｓ2＋２Ｓ3＋４Ｓ4）／８＝Ｓ0　　（ｎ＞ｍ／８）

と予測がつく．また，単位円上の有限フーリエ級数になっていることも察せられるだろう．

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