周長が

　　∫1/(1-x^n)^(1/2)dx

で表される曲線は

　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２・θ）

である．

［１］ｎ＝１のとき，カージオイド（４次曲線）

［２］ｎ＝２のとき，円（２次曲線）

［３］ｎ＝３のとき，１２次曲線

［４］ｎ＝４のとき，レムニスケート（４次曲線）

　ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるが，一般に何次曲線となるのだろうか？

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　　ｒ^(n/2)＝ｃｏｓ（ｎ／２・θ）

　　ｒ^n＝｛ｃｏｓ（ｎ／２・θ）}^2＝（１＋ｃｏｓｎθ）／２

　　２ｒ^n＝｛ｃｏｓ（ｎ／２・θ）}^2＝ｃｏｓｎθ＋１

　ここで，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｃｏｓｎθはｃｏｓθ＝ｘ／ｒに関するｎ次多項式となる．したがって，ｎが奇数とき，右辺にはｃｏｓθの奇数乗項があるため４ｎ次式，ｎが偶数のとき，２ｎ次式になることがわかる．ｎ＝２，４のときは何か都合の良いことが起こっているのであろう．

［１］ｎ＝１

　　２ｒ＝ｃｏｓθ＋１

　　２ｒ＝ｘ／ｒ＋１

　　２ｒ^2＝ｘ＋ｒ

　　（２ｒ^2−ｘ）^2＝ｒ^2

　　｛２（ｘ^2＋ｙ^2）−ｘ｝^2＝ｘ^2＋ｙ^2　　（４次式）

［２］ｎ＝２

　　２ｒ^2＝ｃｏｓ２θ＋１＝２ｃｏｓ^2θ＝２ｘ^2／ｒ^2

　　ｒ^4＝ｘ^2

　　ｒ^2＝ｘ

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｘ　　（２次式）

［３］ｎ＝３

　　２ｒ^3＝ｃｏｓ３θ＋１＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓ^2θ＋１

　　２ｒ^3＝４ｘ^3／ｒ^3−３ｘ^2／ｒ^2＋１

　　２ｒ^6＝４ｘ^3−３ｘ^2ｒ＋ｒ^3

　　（２ｒ^6−４ｘ^3）^2＝ｒ^2（−３ｘ^2＋ｒ^2）^2

｛２（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４ｘ^3｝^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）（−２ｘ^2＋ｙ^2）　　（１２次式）　

［４］ｎ＝４

　　２ｒ^4＝ｃｏｓ４θ＋１＝８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋２＝２（２ｃｏｓ^2θ−１）^2

　　ｒ^4＝（２ｘ^2／ｒ^2−１）^2

　　ｒ^2＝２ｘ^2／ｒ^2−１

　　ｒ^4＝２ｘ^2−ｒ^2

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ｘ^2−ｙ^2　　（４次式）

［５］ｎ＝５

　　２ｒ^5＝ｃｏｓ５θ＋１＝１６ｃｏｓ^5θ−２０ｃｏｓ^3θ＋５ｃｏｓθ＋１

　　２ｒ^5＝１６ｘ^5／ｒ^5−２０ｘ^3／ｒ^3＋５ｘ／ｒ＋１

　　２ｒ^10＝１６ｘ^5−２０ｘ^3ｒ^2＋５ｘｒ^4＋ｒ^5

　　（２ｒ^10−１６ｘ^5＋２０ｘ^3ｒ^2−５ｘｒ^4）^2＝ｒ^10　　（２０次式）

［６］ｎ＝６

　　２ｒ^6＝ｃｏｓ６θ＋１＝３２ｃｏｓ^6θ−４８ｃｏｓ^4θ＋１８ｃｏｓ^2θ＝２ｃｏｓ^2θ（４ｃｏｓ^2θ−３）^2

　　ｒ^3＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ）＝４x^3／ｒ^3−３ｘ／ｒ

　　ｒ^6＝４ｘ^3−３ｘｒ^2　　（６次式）

［７］ｎ＝７

　　２ｒ^7＝ｃｏｓ７θ＋１＝６４ｃｏｓ^7θ−１１２ｃｏｓ^5θ＋５６ｃｏｓ^3θ−７ｃｏｓθ＋１

　　２ｒ^7＝６４ｘ^7／ｒ^7−１１２ｘ^5／ｒ^5＋５６ｘ^3／ｒ^3−７ｘ／ｒ＋１

　　２ｒ^14＝６４ｘ^7−１１２ｘ^5ｒ^2＋５６ｘ^3ｒ^4−７ｒ^6＋ｒ7

　　（２ｒ^14−６４ｘ^7＋１１２ｘ^5ｒ^2−５６ｘ^3ｒ^4＋７ｒ^6）^2＝ｒ^4　　（２８次式）

［８］ｎ＝８

　　２ｒ^8＝ｃｏｓ８θ＋１＝１２８ｃｏｓ^8−２５６ｃｏｓ^6θ＋１６０ｃｏｓ^4θ−３２ｃｏｓ^2θ＋２＝２（８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１）^2

　　ｒ^4＝８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝８ｘ^4／ｒ^4−８ｘ^2／ｒ^2＋１

　　ｒ^8＝８ｘ^4−８ｘ^2ｒ^2＋ｒ^4　　（８次式）

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