レムニスケート周長

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

の５等分問題を扱うには，以前に行った定式化ではうまくいきそうになく，ワイエルシュトラスの標準形

　 ∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)

の特別な場合として扱ったほうが容易かもしれません．しかし，それとで加法定理が格段と簡単になるわけではありません．

　今回のコラムでは，周長が

　　∫1/(1-x)^(1/2)dx

で表される曲線（カージオイド）のｎ等分問題について考えてみます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】初等関数の積分

　　∫1/(1-x)^(1/2)dx=-2(1-x^)^(1/2)+C

　　∫(0,1)1/(1-x)^(1/2)dx=2

より，ｎ等分点は

　　-2(1-x)^(1/2)+2=2/n

　　x=1-(1-1/n)^2=(2n-1)/n^2=c

で与えられる．

　ここで注意しておきたいのはｃは２等分点のｘ座標ではなく，極座標（ｒ，θ）における動径ｒであるということである．カージオイドの場合，

　　ｘ^(1/2)＝ｃｏｓ（１／２θ）

　　１／２θ＝ａｒｃｃｏｓ（ｒ^1/2）

　　θ＝２ａｒｃｃｏｓ（ｒ^1/2）

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ＝ｒｃｏｓ（２ａｒｃｃｏｓ（ｒ^1/2））

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ＝ｒｓｉｎ（２ａｒｃｃｏｓ（ｒ^1/2））

となる．

　２等分点，３等分点，５等分点に対応するカージオイド曲線上の点は以下の如くである．

　　　　　　　　　　ｃ　　　　　（ｘ，ｙ）

　　ｎ＝２　→　0.75 　→　(0.375,0.6495193)

　　ｎ＝３　→　0.555556 　→　(0.0617284,0.552115)

　　ｎ＝５　→　0.36 　→　(-0.1008,0.3456)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】カージオイドのｎ等分点

　（その５３）ではレムニスケート，（その５４）では円のｎ等分点を紹介したが，今回のコラムではカージオイドの等分点を掲載する．

［１］ｎ＝２（ｒ＝３／４）

［２］ｎ＝３（ｒ＝５／９）

［３］ｎ＝５（ｒ＝９／２５）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝