（その５４）（その５５）の間違いに気づいた．６乗和について，ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→６乗和＝２（√３）^6＝５４＜２０ｎ＝６０．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→６乗和＝２（√２）^6＋２^6＝８０＝２０ｎ．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→６乗和＝２・１^6＋２（√３）^6＋２^6＝１２０＝２０ｎ．
すなわち，ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるようにみえる．ｎが偶数のときは辺も含めてｎ／２個の異なる対角線があり，奇数のときは（ｎ−１）／２個の異なる対角線があることに起因しているのだろうか．
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【１】正三角形の場合（ｎ＝３）
ｎ個の頂点を（Ｐ1，・・・，Ｐn）とする．三角形の場合，Ｐ1Ｐ2＝Ｐ1Ｐ3＝√３，Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^2＝２ｎ＝６
頂点Ｐ1の対蹠点をＰ0とし，ここから３頂点Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3までの距離の２乗和，４乗和，６乗和，８乗和，・・を考えてみよう．
｜Ｐ0Ｐ1｜^2＝４
｜Ｐ0Ｐ2｜^2＝｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ2｜^2＝１
｜Ｐ0Ｐ3｜^2＝｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ3｜^2＝１
Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^2＝６＝２ｎ＝６
｜Ｐ0Ｐ1｜^4＝１６
｜Ｐ0Ｐ2｜^4＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ2｜^2）^2＝１
｜Ｐ0Ｐ3｜^4＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ3｜^2）^2＝１
Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^4＝１８＝６ｎ＝１８
｜Ｐ0Ｐ1｜^6＝６４
｜Ｐ0Ｐ2｜^6＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ2｜^2）^3＝１
｜Ｐ0Ｐ3｜^6＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ3｜^2）^3＝１
Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^6＝６６＞２０ｎ＝６０＞Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^6＝５４
｜Ｐ0Ｐ1｜^8＝２５６
｜Ｐ0Ｐ2｜^8＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ2｜^2）^4＝１
｜Ｐ0Ｐ3｜^8＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ3｜^2）^4＝１
Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^8＝２５８＞７０ｎ＝２１０＞Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^8＝１６２
ここで，面白い事実に気づく．
（Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^2m＋Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^2m）／２＝（２ｍ，ｍ）ｎ
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【２】２ｍ＝２
［１］正二角形 ：Ｑ＝４
［２］正三角形 ：Ｑ＝６
［３］正方形 ：Ｑ＝８
［４］正五角形体 ：Ｑ＝１０
［５］正六角形体 ：Ｑ＝１２
［６］正七角形 ：Ｑ＝１４
［７］正八角形 ：Ｑ＝１６
［８］正九角形体 ：Ｑ＝１８
［９］正十角形 ：Ｑ＝２０
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【３】２ｍ＝４
［１］正二角形 ：Ｑ＝１６＞６ｎ＝１２
［２］正三角形 ：Ｑ＝１８
［３］正方形 ：Ｑ＝２４
［４］正五角形体 ：Ｑ＝３０
［５］正六角形体 ：Ｑ＝３６
［６］正七角形 ：Ｑ＝４２
［７］正八角形 ：Ｑ＝４８
［８］正九角形体 ：Ｑ＝５４
［９］正十角形 ：Ｑ＝６０
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【４】２ｍ＝６
［１］正二角形 ：Ｑ＝６４＞２０ｎ＝４０
［２］正三角形 ：Ｑ＝５４＜２０ｎ＝６０
［３］正方形 ：Ｑ＝８０
［４］正五角形体 ：Ｑ＝１００
［５］正六角形体 ：Ｑ＝１２０
［６］正七角形 ：Ｑ＝１４０
［７］正八角形 ：Ｑ＝１６０
［８］正九角形体 ：Ｑ＝１８０
［９］正十角形 ：Ｑ＝２００
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【５】２ｍ＝８
［１］正二角形 ：Ｑ＝２５６＞７０ｎ＝１４０
［２］正三角形 ：Ｑ＝１６２＜７０ｎ＝２１０
［３］正方形 ：Ｑ＝２８８＞７０ｎ＝２８０
［４］正五角形体 ：Ｑ＝３５０
［５］正六角形体 ：Ｑ＝４２０
［６］正七角形 ：Ｑ＝４９０
［７］正八角形 ：Ｑ＝５６０
［８］正九角形体 ：Ｑ＝６３０
［９］正十角形 ：Ｑ＝７００
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【６】まとめ
Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ
は正しい公式であるだが，ｎ＞ｍであることが必要となる．
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