［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでる辺と対角線の長さの４乗和の値を求めよ．

［Ａ］ｎ個の頂点を（Ｐ1，・・・，Ｐn）とする．，

　　Σ(2,n)｜Ｐ1Ｐj｜^4＝Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^4

　内積をつかえば

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2＝（Ｐ1−Ｐ1）・（Ｐ1−Ｐ1）＋（Ｐ2−Ｐ1）・（Ｐ2−Ｐ1）＋・・・＋（Ｐn−Ｐ1）・（Ｐn−Ｐ1）

　ベクトル解析では原点はどこでも好きなところに選ぶことができるから，（Ｐ1を原点とするのではなく）球の中心に原点をおくと，

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj

　　Ｐj・Ｐj＝１

より

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj＝２−２Ｐ1・Ｐj

よって

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2＝２ｖ−２Ｐ1・（Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv）

が得られる．

　正多面体の重心は原点にあるから，その対称性より，

　　Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝０，Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2＝２ｖ

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^4＝Σ(1,n)（２−２Ｐ1・Ｐj）^2＝４Σ(1,n)｛１−２Ｐ1・Ｐj＋（Ｐ1・Ｐj）^2｝

　　Σ(1,n)Ｐ1・Ｐj＝０

　　Σ(1,n)（Ｐ1・Ｐj）^2＝Σ(1,n)ｃｏｓ^2（２ｋπ／ｎ）＝ｎ／２

より

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^4＝６ｎ

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでる辺と対角線の長さの６乗和の値を求めよ．

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^6＝Σ(1,n)（２−２Ｐ1・Ｐj）^3＝８Σ(1,n)｛１−３Ｐ1・Ｐj＋３（Ｐ1・Ｐj）^2−（Ｐ1・Ｐj）^3｝

　　Σ(1,n)Ｐ1・Ｐj＝０

　　Σ(1,n)（Ｐ1・Ｐj）^2＝Σ(1,n)ｃｏｓ^2（２ｋπ／ｎ）＝ｎ／２

　　Σ(1,n)（Ｐ1・Ｐj）^3＝Σ(1,n)ｃｏｓ^3（２ｋπ／ｎ）＝０

より

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^4＝２０ｎ

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでる辺と対角線の長さの８乗和の値を求めよ．

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^8＝Σ(1,n)（２−２Ｐ1・Ｐj）^4＝１６Σ(1,n)｛１−４Ｐ1・Ｐj＋６（Ｐ1・Ｐj）^2−４（Ｐ1・Ｐj）^3＋（Ｐ1・Ｐj）^4｝

　　Σ(1,n)Ｐ1・Ｐj＝０

　　Σ(1,n)（Ｐ1・Ｐj）^2＝Σ(1,n)ｃｏｓ^2（２ｋπ／ｎ）＝ｎ／２

　　Σ(1,n)（Ｐ1・Ｐj）^3＝Σ(1,n)ｃｏｓ^3（２ｋπ／ｎ）＝０

　　Σ(1,n)（Ｐ1・Ｐj）^4＝Σ(1,n)ｃｏｓ^2（２ｋπ／ｎ）＝３ｎ／８

より

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^8＝７０ｎ

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでる辺と対角線の長さの２ｍ乗和の値を求めよ．

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ

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