【1】cos(π/7)
cos(π/7)が3次方程式:8x^3-4x^2-4x+1=0の解として得られる.
x=1/6{1+√7cos(1/3arctan3√3)+√21sin(1/3arctan3√3)}=0.900969
7倍角の公式
cos7θ=64cos^7θ-112cos^5+56cos^3-7cosθ
において,θ=π/7,cosθ=xとおくと
64x^7-112x^5+56x^3-7x=-1
7次方程式の解として得られるというものであるが,3次方程式に還元するうまい手があるはずである.
たとえば,sin(π/10)を求めるのに,θ=π/10とおくと
5θ=π/2,3θ=π/2-2θ
より,
cos3θ=sin2θあるいはsin3θ=cos2θ
こうすれは5次方程式を解く必要はない.
前者は
4cos^3θ-3cosθ=2sinθcosθ
4cos^2θ-3=2sinθ
4sin^2θ+2sinθ-1=0
より2次方程式に帰着する.
後者は
-4sin^3θ+3sinθ=1-2sin^2θ
となって,3次方程式が現れる.それでも
(sinθ-1)(4sin^2θ+2sinθ-1)=0
と因数分解すれは同じ2次方程式に到達する.
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θ=π/7,cosθ=xとおくと
7θ=π,4θ=π-3θ
より,
cos4θ=-cos3θあるいはsin4θ=sin3θ
前者は4次方程式
8cos^4θ-8cos^2θ+1=-4cos^3θ+3cosθ
後者は
8sinθcos^3θ-4sinθcosθ=-4sin^3θ+3sinθ
8cos^3θ-4cosθ=-4sin^2θ+3
8cos^3θ-4cosθ=4cos^2θ-1
より3次方程式:8x^3-4x^2-4x+1=0に帰着するというわけである.
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【2】cos(π/9)
x=cos(π/9)とおくと,3倍角の公式
4x^3-3x=cos(π/3)=1/2
より,3次方程式:8x^3 -6x-1=0に帰着します.
あるいは,θ=π/9,cosθ=xとおくと
9θ=π,5θ=π-4θ
より,
cos5θ=-cos4θあるいはsin5θ=sin4θ
前者は5次方程式
16cos^5θ-20cos^3θ+5cosθ=-8cos^4θ+8cos^2θ-1
となるが,後者は
16sin^5θ-20sin^3θ+5sinθ=8sinθcos^3θ-4sinθcosθ
16sin^4θ-20sin^2θ+5=8cos^3θ-4cosθ
よりcosθ関する3次方程式に帰着するというわけである.
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【3】cos(π/n)
前述したように,θ=π/n,x=cosθが解となる方程式は,一般にn次式になると考えることは誤りである.
[1]n=2mのとき
cosnθ=2cos^2mθ-1=-1
cosmθ=0はcosθのm次式となる.
[2]n=2m+1のとき
cosnθ=cosmθcos(m+1)θ-sinmθsin(m+1)θ1=-cos^2mθ-sin^2mθ=-1
ではしょうがないので,
cosθ=cos((m+1)θ-mθ)=cosmθcos(m+1)θ+sinmθsin(m+1)θ1=-cos^2mθ+sin^2mθ=1-2cos^2mθ
とおくと,xの2m次式
x=1-(xのm次式)^2
が得られる.たとえば,cos(π/7)の場合,6次式となるが,これではほとんどメリットがない.
[3]もしcos(π/n)が既知であるならば,cos(π/2n)は2次方程式からは芋づる式に求めることができる.
2cos^2(π/4)-1=cos(π/2)=0
2cos^2(π/8)-1=cos(π/4)=1/√2
2cos^2(π/16)-1=cos(π/8)
2cos^2(π/3)-1=cos(2π/3)=-1/2
2cos^2(π/6)-1=cos(π/3)=1/2
2cos^2(π/12)-1=cos(π/6)=√3/2
2cos^2(π/5)-1=cos(2π/5)=(√5-1)/4
2cos^2(π/10)-1=cos(π/5)=(√5+1)/4
2cos^2(π/20)-1=cos(π/10)
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【4】チェビシュフ多項式
ところで,ド・モアブルの定理:
(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
の左辺を2項展開して,両辺の実部,虚部を比較すると
cosnθ=(cosθ)^n-nC2(cosθ)^n-2(sinθ)^2+・・・=(cosθのn次多項式)=Tn(cosθ)
sinnθ=nC1(cosθ)^n-1sinθ-nC3(cosθ)^n-3(sinθ)^3+・・・=sinθ×(cosθのn-1次多項式)=sinθ×Un(cosθ)
を得る.
このことから,cos(π/n),n=2m+1のとき,
cos(m+1)θ=-cosmθとsin(m+1)θ=sinmθ
では後者の方が方程式の次数が下がり,m次方程式となることがおわかりいただけるであろう.
なお,
cosnθ=cosθcos(n-1)-sinθsin(n-1)θ
sinnθ=sinθcos(n-1)+cosθsin(n-1)θ
より,漸化式
Tn(cosθ)=cosθTn-1(cosθ)-(sinθ)^2Un-1(cosθ)
Un(cosθ)=Tn-1(cosθ)+cosθUn-1(cosθ)
Tn(cosθ)=2cosθTn-1(cosθ)-Tn-2(cosθ)
Un(cosθ)=2cosθUn-1(cosθ)-Un-2(cosθ)
が成り立つ.
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【5】cos(2π/7)
θ=2π/7,cosθ=xとおくと
7θ=2π,4θ=2π-3θ
より,
cos4θ=cos3θあるいはsin4θ=-sin3θ
前者は4次方程式
8cos^4θ-8cos^2θ+1=4cos^3θ-3cosθ
後者は
8sinθcos^3θ-4sinθcosθ=4sin^3θ-3sinθ
8cos^3θ-4cosθ=4sin^2θ-3
8cos^3θ-4cosθ=-4cos^2θ+1
より3次方程式:8x^3+4x^2-4x-1=0に帰着するというわけである.
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【6】cos(2π/17)
x=cos(2π/n),n=2m+1のとき,
cos(m+1)θ=cosmθとsin(m+1)θ=-sinmθ
において,後者の方が方程式の次数が低く,m次方程式となる.
sin9θ=-sin8θ
より,8次方程式
256x^8-448x^6+240x^4-40x^2+1=-(128x^7-192x^5+80x^3-8x)
が得られたが,Mathematicaでは数値解x=cos(2π/17)=0.932472しか求めることができず,+-×÷√の演算の組み合わせの形の解析解にはならなかった.
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