オイラーの恒等式

　　Ｆ＝｛ａ^k（ｂ−ｃ）＋ｂ^k（ｃ−ａ）＋ｃ^k（ａ−ｂ）｝／（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）

として，分子をＦkとおくと

　　Ｆ0＝（ｂ−ｃ）＋（ｃ−ａ）＋（ａ−ｂ）＝０

　　Ｆ1＝ａ（ｂ−ｃ）＋ｂ（ｃ−ａ）＋ｃ（ａ−ｂ）＝０

　　Ｆ2＝ａ^2（ｃ−ｂ）＋ｂ^2（ａ−ｃ）＋ｃ^2（ｂ−ａ）＝−（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）

　　Ｆ3＝ａ^3（ｂ−ｃ）＋ｂ^3（ｃ−ａ）＋ｃ^3（ａ−ｂ）＝−（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）（ａ＋ｂ＋ｃ）

よって，ｋ＝０，１，２，３の場合，順に

　　Ｆ＝０，０，−１，−（ａ＋ｂ＋ｃ）

となる．

　さらに

ｋ＝３のとき，Ｆ＝−（ａ＋ｂ＋ｃ）

ｋ＝４のとき，Ｆ＝−（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）

ｋ＝５のとき，Ｆ＝−（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＋ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ａ^2ｃ＋ａｃ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ａｂｃ）

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【１】形式的ベキ級数

　　Ｓn＝ａ^n／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋ｂ^n／（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）＋ｃ^n／（ｃ−ａ）（ｂ−ｃ）

＝｛ａ^n（ｂ−ｃ）＋ｂ^n（ｃ−ａ）＋ｃ^n（ａ−ｂ）｝／（ａ−ｂ）（ｂ−ｃ）（ｃ−ａ）

　　Ｓ（ｘ）＝ΣＳnｘ^n

＝Σａ^nｘ^n／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）＋Σｂ^nｘ^n／（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）＋Σｃ^nｘ^n／（ｃ−ａ）（ｂ−ｃ）

＝１／（ａ−ｂ）（ｃ−ａ）（１−ａｘ）＋１／（ｂ−ｃ）（ａ−ｂ）（１−ｂｘ）＋１／（ｃ−ａ）（ｂ−ｃ）（１−ｃｘ）

より，

　　Ｓn＝Σａ^iｂ^jｃ^k　　　（ｉ＋ｊ＋ｋ＝ｎ−２）

　４変数の場合，結果も似たようなものになり

　　Ｔn＝Σａ^iｂ^jｃ^kｄ^l　　　（ｉ＋ｊ＋ｋ＋ｌ＝ｎ−２）

［参］小池正夫「実験・発見・数学体験」数学書房

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