阪本ひろむ氏から，Mathematicaのグレブナー基底の消去機能を使ってｎ＝８の場合のグレブナー基底

　　ｄ^10＋２ｄ^9ｒ−８ｄ^7ｒ^3−８ｄ^6ｒ^4−５ｄ^8Ｒ^2−８ｄ^7ｒＲ^2−８ｄ^6ｒ^2Ｒ^2＋８ｄ^5ｒ^3Ｒ^2＋２４ｄ^4ｒ^4Ｒ^2＋３２ｄ^3ｒ^5Ｒ^2＋１０ｄ^6Ｒ^4＋１２ｄ^5ｒＲ^4＋２４ｄ^4ｒ^2Ｒ^4＋８ｄ^3ｒ^3Ｒ^4−８ｄ^2ｒ^4Ｒ^4−１０ｄ^4Ｒ^6−８ｄ^3ｒＲ^6−２４ｄ^2ｒ^2Ｒ^6−８ｄｒ^3Ｒ^6−８ｒ^4Ｒ^6＋５ｄ^2Ｒ^8＋２ｄｒＲ^8＋８ｒ^2Ｒ^8−Ｒ^10＝０

が得られたという連絡があった．

　ｄ＝０とおくと

　　−８ｒ^4Ｒ^6＋８ｒ^2Ｒ^8−Ｒ^10＝０

となるが，

　　ｒ／Ｒ＝ｃｏｓ（π／８）＝（４−２√２）^1/2

はこれを満たす．それにしてもこの問題はずいぶんロングランとなった．

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［１］双心三角形

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

［２］双心四角形

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

［３］双心五角形

　　ｄ^6−２ｄ^4ｒＲ＋８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2＋４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０

［４］双心六角形

　　３ｄ^8−４ｄ^6ｒ^2−１２ｄ^6Ｒ^2＋４ｄ^4ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^2＋１８ｄ^4Ｒ^4＋４ｄ^2ｒ^2Ｒ^4−１２ｄ^2Ｒ^6−４ｒ^2Ｒ^6＋３Ｒ^8＝０

［５］双心七角形

　　ｄ^12＋４ｄ^10ｒＲ−２４ｄ^8ｒ^3Ｒ＋３２ｄ^6ｒ^5Ｒ−６ｄ^10Ｒ^2−４ｄ^8ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^6ｒ^4Ｒ^2−２０ｄ^8ｒＲ^3＋６４ｄ^6ｒ^3Ｒ^3＋１５ｄ^8Ｒ^4＋１６ｄ^6ｒ^2Ｒ^4＋３２ｄ^4ｒ^4Ｒ^4＋６４ｄ^2ｒ^6Ｒ^4＋４０ｄ^6ｒＲ^5−４８ｄ^4ｒ^3Ｒ^5−３２ｄ^2ｒ^5Ｒ^5−２０ｄ^6Ｒ^6−２４ｄ^4ｒ^2Ｒ^6−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^6−４０ｄ^4ｒＲ^7＋１５ｄ^4Ｒ^8＋１６ｄ^2ｒ^2Ｒ^8＋２０ｄ^2ｒＲ^9＋８ｒ^3Ｒ^9−６ｄ^2Ｒ^10−４ｒ^2Ｒ^10−４ｒＲ^11＋Ｒ^12＝０

［６］双心八角形

　　ｄ^10＋２ｄ^9ｒ−８ｄ^7ｒ^3−８ｄ^6ｒ^4−５ｄ^8Ｒ^2−８ｄ^7ｒＲ^2−８ｄ^6ｒ^2Ｒ^2＋８ｄ^5ｒ^3Ｒ^2＋２４ｄ^4ｒ^4Ｒ^2＋３２ｄ^3ｒ^5Ｒ^2＋１０ｄ^6Ｒ^4＋１２ｄ^5ｒＲ^4＋２４ｄ^4ｒ^2Ｒ^4＋８ｄ^3ｒ^3Ｒ^4−８ｄ^2ｒ^4Ｒ^4−１０ｄ^4Ｒ^6−８ｄ^3ｒＲ^6−２４ｄ^2ｒ^2Ｒ^6−８ｄｒ^3Ｒ^6−８ｒ^4Ｒ^6＋５ｄ^2Ｒ^8＋２ｄｒＲ^8＋８ｒ^2Ｒ^8−Ｒ^10＝０

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