（その４６）の補足をしておきたい．曲線

　　ｒ^(1/2)＝ｃｏｓ（１／２・θ）

　　ｒ＝ｃｏｓ^2（１／２・θ）＝（１＋ｃｏｓθ）／２

であるからリマソンであることはわかるが，本当にカージオイドなのだろうか．

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　カージオイド：

　　ｘ＝−１／２・ｃｏｓｔ＋１／４・ｃｏｓ２ｔ＋１／４

　　ｙ＝１／２・ｓｉｎｔ−１／４・ｓｉｎ２ｔ

を考える．

　　ｘ^2＋ｙ^2＝３／８−１／２・ｃｏｓｔ＋１／８・ｃｏｓ２ｔ

　一方，

　　ｒ＝（１＋ｃｏｓθ）／２

　　ｒ^2＝（１＋２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ^2θ）／４

ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１より

　　ｒ^2＝３／８−１／２・ｃｏｓθ＋１／８・ｃｏｓ２θ

　θ＝ｔとおけばｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2である．よって

　　ｒ＝ｃｏｓ^2（１／２・θ）＝（１＋ｃｏｓθ）／２

はカージオイドである．

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　ペリトロコイド曲線は

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ）＋ａｃｏｓ（ｎ−１）β

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ）＋ａｓｉｎ（ｎ−１）β

で表される．

　ペリトロコイドの特別な場合として

　　ｘ＝Ｒｃｏｓｔ＋ａｃｏｓ２ｔ

　　ｙ＝Ｒｓｉｎｔ＋ａｓｉｎ２ｔ

があるが，これはリマソンである．

　パスカルのリマソン（蝸牛線）は，極座標では

　　ｒ＝ａ＋ｂｃｏｓθ

と表されるが，直交座標系では陰関数となる４次曲線：

　　（ｘ^2＋ｙ^2−ｂｘ）^2＝ａ^2（ｘ^2＋ｙ^2）

である．

　ｎ＝３のとき，

　　｛（ｘ−１／２）^2＋ｙ^2＋ｘ−１／２｝^2＝（√(3)/2-2/3）^2（（ｘ−１／２）^2＋ｙ^2）

で表されるペリトロコイド曲線（ハイポカージオイド）は，ｘ→１／２−ｘ，ａ＝√(3)/2-2/3，ｂ＝１とおいたものであるからリマソンとなる．

　ｎ＝４の場合，

　　ｘ＝Ｒｃｏｓｔ＋ａｃｏｓ３ｔ

　　ｙ＝Ｒｓｉｎｔ＋ａｓｉｎ３ｔ

の軌道は，繭型の２ノード・ペリトロコイド曲線（ハイポネフロイド）と呼ばれている．

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